初中数学平几难题一道

chuchudengren

在说明一下： 第一点：
引理：对于圆O, PEF为一条割线，P的极线MN(M,N 在圆上)交CD与Q，则ABYP为调和点
证明：连接OP交MN与H，过O做EF垂线交EF与J，因为PM为切线，故PE*PF=PM*PM=PH*PO=PQ*PJ=PQ*(1/2PE+1/2PF),故而2/PQ=1/PE+1/PF,也就是要证得的结论
了，也就是前面用的。
第二点
关于Q为极点的证明
设 CA,DB交与X，连接PX，XQ分别交AB,CD与Y,Z。现在要证YZ为极线，根据上面引理只需证ABYP,CDPZ为调和点，而两者证明的方法是一样的，故只证后者。这一点可以通过在Q做DB平行线分别交PD，PB，XC，XP与T1，T2，T3，T4。T1Q/QT3=BD/XC=T1T2/T2T4=QT2/T2T3=T1Q/T3T4，所以T3T4=QT3，这样在C点做DB平行线交XZ延长线,XP与U,V，则CU=CV，这样CZ/ZD=CU/XD=CV/XD=PC/PD。故再次根据引理就得证了。

知识还算是初中的，只有圆幂定理和比例。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-5-21 16:01 编辑 ]

gb57

感觉不是太难，只是乱

△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F，
得到PE/PF=EQ/FQ
PE*PF=(5+3)*(5-3)=16,
PE=12/5   ,   PF=20/3  ,  EF=64/15
EQ/FQ=9/25  ,EQ/EF=9/34
EQ=96/85

小明的马甲

刚发现射影坐标系是个好东西啊。。。。

Paracel_007

好像不仅仅是初中的知识了…

Pyrenees

这是哪个省的初中知识啊。。。。。。。。。。。

百度黑光

高中理科生表示做不出来

zhubailei

解析几何啊！用切割线定理解！简单的很！

Cielo

原帖由 gb57 于 2010-5-21 17:10 发表
感觉不是太难，只是乱
98287
△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F， ...

这个方式得到 PE/PF=QE/QF，很巧妙啊！

石崇的BOSS

原帖由 gb57 于 2010-5-21 17:10 发表
感觉不是太难，只是乱
98287
△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F， ...

可以把C换成E，B换成F？有这种解答方法吗？如果C和B在一条直线上还可以这样做吧？这种方法还没见过呢……

Cielo

我觉得他的意思是这样：

随便画一个类似原题的图，然后让两条割线之间的夹角逐渐变小，极限情况就是重合为一条线，即PEQF，而这个Q恰好就是原来那个交点的极限。

好像不大严格啊……