求解:12轴魔中魔加强版(超级五魔方)的组合数

chuchudengren

正二十面体顶点两种颜色染色的问题，没学过群论，等待学过群论的解答。

raka

楼主说的组合数是不是单纯的1、0的组合数？
貌似没这么简单吧？呵呵
不过这个8大行星异常有代表性哦！

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多问句，包不包括颜色的组合

[ 本帖最后由 raka 于 2010-6-23 23:44 编辑 ]

Paracel_007

仿佛会出现“手性”…比较复杂…

Cielo

看到标题，以为是算状态数

组合数的话，穷举吧

1个0面：1
2个0面：3
3个0面：4+1=5
4个0面：3+4+……晕了已经，只能用群论了……

每个面有0、1两种（记得最后要减去全0和全1这两种），共2¹²种。但某些情况进行旋转之后是一样的。

考虑正十二面体的旋转对称群G，|G|=60，其中绕顶点的旋转σ1：20x2/2=20个，绕棱中点的旋转σ2：30/2=15个，绕面中心的旋转σ3：12x4/2=24个，不动：1个。
W={1，2，……，12}表示给12个面标序号。G作用在W上。
σ1造成的轮换个数：4
σ2造成的轮换个数：6
σ3造成的轮换个数：4
“不动”造成的轮换个数：12
总数=（20x2⁴+15x2⁶+24x2⁴+1x2¹²）/ 60 = 96
去掉全0和全1后 = 94
不知算错没~

用3阶魔中魔来验证：
8个绕顶点：轮换2个
6个绕棱中点：轮换有3个
6个绕面中心90°：轮换有3个
3个绕面中心180°：轮换有4个
1个不动：轮换有6个
总数=（8x2²+6x2³+6x2³+3x2⁴+1x2⁶）/ 24 = 10
去掉全0和全1后 = 8 大行星！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2010-6-24 01:33 编辑 ]

东方球败

先建模：

定义第一轴面为1号位，则与其相邻的五个面为2号位，与其相间的五个面为3号位，与其相对的一个面为4号位。

则2号位与4号位的关系为相间，3号位与4号位的关系为相邻，2号位与3号位关系有三种：相邻、相间、相对。

若两个轴面均在2号位，则这两个轴面的关系有两种：相邻、相间。两个均在三号位同理。

若三个轴面均在2号位，则这三个轴面的系有两种：全相邻，两相邻另一与该两个均相间。

再往下就不说了，靠自己理解。

序号	固定轴数	第1固定轴所在位置	第2固定轴所在位置	第3固定轴所在位置	种类数
1	0	/			1
2	1	1			1
3	2	1	2		1
4	2	1	3		1
				小计	4
4	3	1	2	2	2
5	3	1	2	3	1
				小计	3
				合计	11

用三阶魔中魔来验证：多了一种，原来是122组合中含123，我有点晕了。

[ 本帖最后由 东方球败 于 2010-6-24 01:51 编辑 ]

东方球败

再占一层。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

序号	固定轴数	第1固定轴所在位置	第2固定轴所在位置	第3固定轴所在位置	第4固定轴所在位置	第5固定轴所在位置	第6固定轴所在位置	种类数
1	0	/						1
2	1	1						1
3	2	1	2					1
4	2	1	3					1
5	2	1	4					1
6	3	1	2	2				2
7	3	1	2	3				3
8	3	1	2	4				1
9	3	1	3	3				2

[ 本帖最后由 东方球败 于 2010-6-24 01:02 编辑 ]

东方球败

还要一层。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

序号	固定轴数	第1固定轴所在位置	第2固定轴所在位置	第3固定轴所在位置	第4固定轴所在位置	第5固定轴所在位置	第6固定轴所在位置	种类数
10	4	1	2	2	2			2
11	4	1	2	2	3			6
12	4	1	2	2	4			1
13	4	1	2	3	3			6
14	4	1	2	3	4			3
15	4	1	3	3	3			2
16	5	1	2	2	2	2		1
17	5	1	2	2	2	3		6
18	5	1	2	2	2	4		2
19	5	1	2	2	3	3		1
20	5	1	2	2	3	4		6

[ 本帖最后由 东方球败 于 2010-6-24 01:04 编辑 ]

东方球败

一层一层又一层。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

序号	固定轴数	第1固定轴所在位置	第2固定轴所在位置	第3固定轴所在位置	第4固定轴所在位置	第5固定轴所在位置	第6固定轴所在位置	种类数
21	5	1	2	3	3	3		6
22	5	1	3	3	3	3		1
							小计	56
23	6	1	2	2	2	2	2	1
24	6	1	2	2	2	2	3	3
25	6	1	2	2	2	2	4	1
26	6	1	2	2	2	3	3	6
27	6	1	2	2	2	3	4	6
28	6	1	2	2	3	3	3	6
29	6	1	2	2	3	3	4	6

[ 本帖最后由 东方球败 于 2010-6-24 01:06 编辑 ]

东方球败

我自己都晕了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

序号	固定轴数	第1固定轴所在位置	第2固定轴所在位置	第3固定轴所在位置	第4固定轴所在位置	第5固定轴所在位置	第6固定轴所在位置	种类数
30	6	1	2	2	3	3	3	6
31	6	1	2	3	3	3	3	3
32	6	1	3	3	3	3	3	1
							小计	39
							合计	151

有0~5个固定轴及有7~12个固定轴是对应的，故1~22之和需乘2。

总组合数为0~5组合数之和乘2加上6个固定轴组合数。

[ 本帖最后由 东方球败 于 2010-6-24 01:23 编辑 ]

latios

megaminx 不太熟
有沒有盲解公式來還原?= =