証明26是唯一夾在平方數和立方數之間的正整數

qazoqazkqazm

谁能够翻译一下啊！我也想知道答案！话说这是什么年级出的题目啊？那么挂三！

Cielo

确实不长，就是不知道我看不看得懂……

Paracel_007

看完证明果断表示不会。。。

aircheng

那个证明好像用到了虚数呢，看见有i的

chuchudengren

简单翻译一下，我没学过抽象代数和数论，翻译可能不太准确。
证明y³－x²=2有唯一解。
1. x,y都是奇数。因为若x是偶数，y³≡x²+2≡2（mod4)，y为偶数，y³≡0（mod4）矛盾。故x，y为奇数。
2.一个环称为唯一因子分解整环，如果它是没有零因子的交换环，而且每一个元素可以唯一的（不考虑顺序）分解成不可约元的乘积。
考虑唯一因子分解整环Z[i√2]={a+bi√2,(a,b)∈Z²}（据数学方向某同学说是先证明是欧式环，所以就是唯一因子分解整环）
gcd(x+i√2,x－i√2)=gcd(x+i√2, 2i√2)=gcd(x+i√2,(i√2)³)   P.S. gcd是最大公约数
i√2是不可约的，如果假设i√2|(x+i√2),则x+i√2=i√2*(a+b√2),∴a=1,x=-2b为偶数，矛盾
∴(x+i√2)∧i√2=1, (x+i√2)∧﹙x－i√2﹚=1
唯一因子分解x + i√2= z1z2...zn , x-i√2 = ¯ z1 ¯ z2... ¯ zn     (¯ z1 为z1的共轭，弄不了上划线）
因为最大公因子为1，zi≠ ¯ zj  而y³=(x+i√2)(x-i√2)，所以zi出现三次，所以存在（a,b)∈Z²
x+i√2=(a+bi√2)³   ∴b(3a²-2b²)=1,b=1,a=±1(b=-1时a无整数解）  x+i√2=±5＋i√2, 所以x=5，所以y=3

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-24 20:04 编辑 ]

kattokid

耗子哥哥数学也很强啊！

superacid

证明用Z[isqrt(2)]很巧妙啊

耗子哥哥

原帖由 kattokid 于 2010-9-24 22:32 发表
耗子哥哥数学也很强啊！

　　只是有点思路而已，要我证明还真证不出来。

石崇的BOSS

这个证明方法很弓虽！

gqc294981

7楼错误，题中说的是正整数