三阶“限定180度旋转”和“只旋转中层”的状态数各是多少？

noski

只看成5个四元环，不必分棱簇和角簇。一个四元环有4x3x2x1＝24种变化，而如果一个环不允许有二置换，那么只有2个变化：
1   2
4   3
和
3   4
2   1
魔方的性质约束了最后一个环的变化，所以是四个24和一个2。

乌木

假如这样的5个四元环，没有魔方性质约束最后一个环的话，是否结果就是五个24的积呢？如果是的，最后一个24变为2，应该就是10楼Cielo说的24/12＝2。当然，不必像Cielo那样计较最后一个四元环是角块还是棱块。－－哦，Cielo不是说24/12，而是总的除以12，即24^5 / 12。此外，他也没有计较最后一个四元环是什么块，他只是猜：（24^2 / 6 ）×（24^3 / 2）＝24^5 / 12 。

总之，是否该探讨“除以12”是怎么来的？而一下子给出乘数“2”，好像有点费解。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-17 15:35 编辑 ]

noski

有道理，还是写成24^5/12比较好理解。即如果没有魔方性质的约束，那么就是24^5，而有了约束，则一个环一个环的还原，当还原到最后一个环时，只有1/12的机率是允许的。这就和组装三阶魔方一个道理。

乌木

嗯。此题蛮奥妙。

每步限180度表层转的话，前四个四元环的所有变化（24^4种态）都是非扰动态（设最初的出发态是非扰动态），最后一个四元环的、可能的24种变化也都是非扰动态，其中怎么会只有2种为魔方转动规律所允许呢？

11楼所说的2种变化，其实并非同一表层的四个块的一次180度转，因为此题说的四元环不在同一表层。比如，角块的四元环之一为1、3、6、8号位上的四个角块。就把1、3、6、8号角块的复原态作为态1，就算它们的次序也是1，3，6，8，那么，按照11楼的变化规律，要变成态2－－6、8、1、3号角块位于1、3、6、8号位置的话，转动步骤之一为 L2，R2，即两次转动。见下图。（“几号位置”和“几号角块”表示不同的概念。）

               
如果1、3、6、8四个角块的次序由玩家主观上取另一种的话，则“11楼变化法”得到的态2就不同，转动步骤也不同。比如，态1仍为复原态，但次序取1 3 8 6，则态2以及有关步骤（之一）为下图所示：

               


从1 3 6 8的可能的24种排列状态之中，究竟取哪两个？选取的条件如何与“一个环不允许有（单独一个）二置换”挂钩？上面两图中态2都是有两个二置换，似乎不会改变魔方的扰动不扰动状态的嘛？

11楼说的“2种变化”是否两者一定要那样地、表观上为一次180度变换？如果必须如此，那么，四元环的不在同一表层的四个块该如何排序？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-17 14:51 编辑 ]

乌木

极初步地摸索了一下，1、3、6、8号角块（用限转180度方法）排列到1 ，3，6，8号位置的24种方式中，仅就这4个位置而言（！），12种为非扰动态（偶数个偶循环或1个三循环）；有12种为扰动态（奇数个偶循环）。

猜想，另一角块四元环2、4、5、7号角块的情况类推。

两组角块搭配时，12个扰动态配12个扰动态，得12×12个角块态；12个非扰动态配12个非扰动态，另得12×12个角块态。共得12×12×2＝24^2 / 2 个角块态。（pengw是说不同簇之间的搭配法，我此处在两组角块四元环之间仿照着这样搭配，可以吗？）

3个棱块四元环的情况一时还未摸索（故下面说法中的“6”还不知其来龙去脉）。

初步问问，Cielo兄的猜想“角块簇要除以6、棱块簇要除以2”是否可以改为“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”?

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-17 17:31 编辑 ]

乌木

限表层180度转时，棱块分成3个四元环，其中一个为1、3、5、7号棱块。这四个棱块可能有的24种排列之中，就这四个棱块位置而言（！），也是12种是非扰动态，另12种为扰动态。（和上面角块四元环的情况非常相似。）

                    

猜想另两个棱块四元环－－2 4 6 8号棱块和9 0 A B号棱块也一样。

问题是这样的三组棱块如何搭配出整个魔方的12个棱块的合法态？我还要想想，各位也帮忙看看。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-17 22:07 编辑 ]

noski

乌木老师果然厉害，我都没有细想这些，可能性不能一下子除以12，而是要棱块角块分开的。
按16楼的棱块编号，可能情况有4种：
1   3          3   1          5   7          7   5
5   7          7   5          1   3          3   1
正是4/24，即1/6。
再加上15楼指出最后一个角块四元环的24个状态中有12个是非扰动态，即1/2。
最后，正是“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”，Cielo说的也很有道理，不过要稍稍改为：
（24^2 / 2）×（24^3 / 6）＝24^5 / 12

乌木

接着我16楼思路想。

三组棱块四元环（1 3 5 7；2 4 6 8和9 0 A B号棱块）的头两组，先和两组角块一样（15楼），获得24^2 / 2个棱块态，它们都是（就头8个棱块位置而言的）非扰动态；再和两组角块不一样地，暂时保留（就头8个棱块位置而言的）扰动态－－第一组的非扰动态搭配第二组的扰动态以及第一组的扰动态搭配第二组的非扰动态，又（暂时）获得24^2 / 2个棱块态。

再和第三组棱块的24个态搭配。现在的搭配要保证获得（就12个棱块位置而言的）非扰动态。

头两组的24^2 / 2个非扰动态搭配第三组的12个非扰动态，得到24^2×12 / 2个；
头两组暂留的24^2 / 2个扰动态搭配第三组的12个扰动态，得到24^2×12 / 2个，这些态变成非扰动态了。
一共得到24^2×12＝24^3 / 2个棱块态。

所以，角块和棱块一起考虑，限表层180度转的状态数为（24^2 / 2）×（24^3 / 2）＝24^5 / 4。

我错在哪里？如果在最后的（8个角的）角块态搭配（12个棱的）棱块态时，把15楼舍去的扰动态角块态数请回来，也把本楼上面舍去的扰动态棱块态数请回来，两者也可搭配得到非扰动态，这找回来的态数也是24^5 / 4。

那么，最后答案也只是变为 24^5 / 2  ，不等于你们说的24^5 / 12 。

不知我错在何处，大概我的思路是死胡同？

noski

呵呵，说得我也晕了。这里不要叫扰动态了吧，因为180度转出来的都是非扰动的，不是一个定义。另外，能搭配出来的状态，用180度转动都能还原吗？比如角块两个环全还原了，棱块两个环全还原了，最后一个棱块环有一个三循环，那这个状态用180度转动可以还原吗？可以探索一下。。

Cielo

原帖由 乌木 于 2009-1-17 17:04 发表
...
3个棱块四元环的情况一时还未摸索（故下面说法中的“6”还不知其来龙去脉）。

初步问问，Cielo兄的猜想“角块簇要除以6、棱块簇要除以2”是否可以改为“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”?

惭愧啊，我也只是随口说说，因为我看到 2阶180°状态非常少所以才让角块簇除以6。但实际上 3阶的角块簇在 180°状态里可以是那些状态经过某些整体旋转得到的，所以“角块簇除以6”大概是错的了。

原帖由 noski 于 2009-1-18 19:58 发表
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比如角块两个环全还原了，棱块两个环全还原了，最后一个棱块环有一个三循环，那这个状态用180度转动可以还原吗？可以探索一下。。

这种情况我以前发过一帖《180°状态集里的一个状态》，我当时只会一种比较麻烦的复原方法。是ggglgq给出了(R2U2R2F2)2 这个简单的公式！