谁能找出一个自身包含自身的集合？

superacid

ZF公理系统是策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF系统，主要内容如下：
　　(ZF1)外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。
　　(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。
　　(ZF3)无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。
　　(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
　　准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。
　　(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合x，P(x)也是一集合。
　　准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。
　　(ZF6)无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
　　准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
　　根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。
　　(ZF7)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”。
　　(ZF8)替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F(x)，对于任意的集合t，当x属于t时，F(x)都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F(x)必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F(x)。也就是说，由F(x)所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
　　(ZF9)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
　　准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”

SURE_

依稀记得“无穷”就是这么定义来着。。。
一个集合可以和其真子集建立双射，则称其无穷。。

aubell

个人理解：
1.集合的元素应该具有相同的类型；

2.不同类型的元素不应该被放到一个集合中；
类型不同，放在一起讨论是没有意义的。
所谓“物以类聚”。

3.空集虽然空，没有元素；
但应该有元素的类型指出：空掉了什么。
因此，在不同的环境下，空集不是等价的。
空集不是真正的空，而是有类型的空。

好比车库，空了是指没有装汽车；
茶杯空了，是指没有装水；
这两种“空”不能够等同的。

我们可以说某只牛受伤了，失去了它的犄角；（本来有，失去了，空了）
但不可以说兔子失去了犄角。（本来就没有，失去啥？？）
空集可以看作“失去”了元素的集合，
不必强调说“没有”元素。

有和无是相生的。

欢迎指正。