二阶的状态数的怀疑

冰七灵

<P>大体明白了，可能是某些文章说法有些错误。</P>
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<P>我觉得应该这样说</P>
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<P>8!给8个角块全排列，和角块位置有关系。</P>
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<P>3^8让每个角块在当前位置有3种状态，但3^8和角块位置没关系。而一共有8个“3种状态”，所以是3^8。</P>
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<P>这样就好多了，一个管位置，一个管位置状态。</P>
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<P>最后所有位置的所有变化就是8!x3^7/24，谢谢你了。</P>
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<P>请问24是怎么得出来的？</P>

[ 本帖最后由 冰七灵 于 2008-4-26 00:08 编辑 ]

乌木

任一态通过魔方的整体旋滚（不转任何层）有24种方位，有的计算把这24种看上去不同模样的图像算为一种状态，故总态数还要除以24。有的则不除。相当于魔方不动，观察者围观它，有的说没新花样；有的说有24种花样。前提不同，不矛盾。

大烟头

<P>魔方的变化可分解为：位置变化与色向变化</P>
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<P>我就顺着楼主的观念说一下：</P>
<P><BR>位置变化：二阶魔方任意两个块的是可以独立相互交换位置的，所以用8的阶乘8！表示二阶魔方的位置变化。</P>
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<P>色向变化：二阶魔方一个角有3个色向变化，但一个角块是不可能单独进行色向变化，也就是说当二阶魔方7个角块的色向确定后，最后一个角块的色向是固定的。所以二阶魔方的色向变化为3的7次方。</P>
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<P>二阶魔方的总状态数是8！×3^7吗？这是不对的。因为整体转动二阶魔方，魔方上所有的块相对位置与色向都是不变的，整体转动魔方是有24个状态，这24个状态也称为同态，所以二阶魔方的总状态数为8！×3^7/24</P>
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<P>或者计算时直接以其中一个块为参照，去计算其它7个块的全部变化，很容易就会得到7！×3^6这个答案了。</P>

Cielo

关于24的最通俗的解释：<br>一个魔方，要把它放在桌上，6个面中可以选一个作为底面（也就是与桌子接触的面），然后放下后，侧面的4个面中可以选一个面朝向你自己。于是一个魔方就有24种放法。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2008-4-26 00:22 编辑 ]

乌木

中！13楼最后对7！×3^6这一表述给予了又一种解释！此时就没有消（24方位的）同态问题了，某一参照物角块被固定了，它的位置动不得（至于该参照角块本身的色向引起的问题见下面几楼），则经过转动魔方而得到的态数为7！×3^6。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-26 15:51 编辑 ]

乌木

<P>现在轮到我犯迷糊了，请教各位。</P>
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<P>有人问过，不计各角块在同一位置上有色向之别，只看二阶角块的位置引起的态数。冬兄和noski兄都说是（8！/ 24＝）1680个；现在烟兄对7！×3^6作出了解释。我问：如何由表达式7！×3^6来回答上述问题得到1680？</P>
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<P>凑答案的办法是7！/ 3 ＝1680。这就好像是说，参照角块虽被固定，无位置变化，但其色向还是可以有3种可能。</P>
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<P>我的问题是，参照角块的色向变化怎么会影响二阶的、仅由角块位置变化所引起的态数呢？我总觉得二阶不计各块色向的、仅由位置变化引起的态数是 7！＝5040，不是1680。对吗？请教，请教。</P>
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<P>我觉得这问题就是问下图这种魔方的态数（无论如何就地翻各角块的颜色，看不出状态变化），是否应该为5040，而不是1680？</P>
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[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-26 11:00 编辑 ]

乌木

<P>我这里先设法看看能否自我解脱。</P>
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<P>比如16楼那特种“魔方”，若以周围环境为参照物，则其状态数为8！/ 24 ＝1680；若以某一块（比如红色块）为参照物，它虽然处于“1号位”不得移位，但是魔方整体还是可以红角和紫角之间的“体对角线”为轴（属于“三次对称轴”）作旋转，故7！/ 3 ＝1680，这里的除数3并非红块本身的、单独的色向变化，而是魔方整体的旋转－－以体对角线为轴的、每次转120°的动作。由此引起的表观图像变化应该是同态变化，这除以3也是一种“消同态”。</P>
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<P>所以，冬兄和noski是对的，并且，用式子7！×3^6（即参照物为某一角块）同样可以得到那问题的答案1680。</P>
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<P>那么，在算（位置有变和色向有变的）总态数时，7！×3^6＝3674160，应该没同态了；但是在只算位置有变时的态数时，又爆出个魔方的“整体斜转”，为此得到7！/ 3＝1680。所以，我剩下的问题是，怎么会从“没同态了”爆出另一种（“三次斜转”）同态的？</P>
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<P>请教各位了。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-26 12:19 编辑 ]

pengw

这些问题应该没有再讨论的必要

乌木

<P>莫非对7！×3^6 ＝3674160 应该作这样的解释？即，固定一块的位置并作为参照物之后，虽然没有24方位的变化了，但还有上述体对角线为轴的三次旋转同态，而色向引起的乘数因子还是为3^7，故总态数为（7！/3）×3^7（＝1680×2187＝3674160），再变为7！×3^6（＝3674160）。即，位置变化和消同态后为1680，色向变化为2187，不要去解释7！是何意，也不要解释3^6是何意，那7！×3^6纯粹是运算的中间结果！</P>
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<P>对不对？</P>

乌木

<P>也许是的，至少不必在理论区再讨论的了。</P>
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<P>我只是顺便借楼主的帖子，想尽量对7！×3^6这一式子的含义弄弄明白。</P>
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<P>看来，换参照物不是容易的事。</P>