球面上的四只蚂蚁

奇遇

原帖由 塞翁 于 2011-8-29 16:38 发表
只能是一，不可能是二。
它们永远在一个旋转的四面体的四个顶点上。

感觉起来也是这样子，但是没有具体计算过
用微小位移来计算一下，看看彼此间距离是否发生变化即可得出结论

华容道

顶楼上！我也认为是一。由于每只蚂蚁都一样，因此运动的路径也是完全一样的，所以它们永远在一个正四面体的四个顶点上。

乌木

不过，似乎不单单是那个四面体整体旋滚，而是在旋滚的同时还有四个顶点之间相对的空间位置的循环。
下图红角、绿角、黄角和蓝角就是四面体的四个顶点，下图用鼠标整体旋滚来旋滚去，似乎总是得不到A追B追C追D追A的结果，整体旋滚的话只能得到三个顶角的三轮换而一个顶角在原位自转，或者是两个二交换的结果。不知是否我没有旋滚好？

  
  
  
  
  
  
  
  
  


当然，旋转一下这借用来的三阶魔方图的表层180°再做整体旋滚的话，完全可以做到这四个顶角的四轮换的。这是否表明了，通常意义上的“魔方”和只能整体旋滚的这么一大堆东西（“全绑定魔方”）的重要区别呢？（即四个顶角要四轮换是这个四元体系由原来的偶态变换到奇态，而整体旋滚不可能变换奇偶性。）

如果以上说法成立的话，这四个蚂蚁究竟是如何走法的呢？如果它们始终处于（旋滚着的）四面体的顶点，又如何能实现这一四元体系从偶态变换为奇态呢？从（四面体顶点）A—B—C—D各自开步走，到第一次实现（四面体顶点）D—A—B—C，两个状态之间，是否并非始终处于四面体的顶点，而是有多种形态逐步变换来着，比如半途来个这样的状态：

  
  
  
  
  
  
  
  
  

也就是红处于追绿的半途，绿处于追黄的半途，黄处于追蓝的半途，蓝处于追红的半途，四者不在四面体的顶点，而在一个正方形的顶点。（当然，这个图是定性的示意，四个蚂蚁始终在球面上，这里说的正方形的四个顶点也在球面的一个大圆上。或者用球形三阶魔方画图更妥。）

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-8-29 23:00 编辑 ]

忧天杞人

我认为是这样：
1、如果出发时四者的瞬时运动方向是同一个圆的切线，也就是说四只蚂蚁按顺序处在一个大圆（比如赤道、经线圈），那么每只蚂蚁的目标都在正前方，他们就会永远追下去，不会碰面。如左图。还有就是相邻两只蚂蚁的距离不得大于半个圆周，否则后面的蚂蚁会掉头去追。
2、如果不满足1的条件，那么四只蚂蚁就会不断根据目标的移动修正自己的方向，最后他们会在一个点上碰头。他们的运动轨迹应该是螺旋线，如右图


[ 本帖最后由 忧天杞人 于 2011-8-29 21:18 编辑 ]

塞翁

噢，说旋转不对，应该叫翻滚。
换个角度想，是4条从一点射出，在空间两两等夹角的线，以相同的角速度依次追逐。
这样描述可以吗？

6504839

这东东越来越纠结.........明天上高一的我就继续围观呐

Cielo

如果楼主的意思是，初始时位于球内接正四面体的顶点，
那么四只蚂蚁互相追逐，它们的地位不是完全平等的。

编号1、2、3、4，分析一下很短的一段时间内它们之间的相对运动，
1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，
以上两种相对运动不是一样的，所以我认为四只蚂蚁不会仍然维持“正四面体”的相对位置，
也就是说，不仅仅是简单的“翻滚”。
所以我猜最后会相遇……

钟七珍

　　用小量分析的话，应该就是一个正四面体在球体里转。
　　不过这个小量分析应该采用相对于球心角度的微分增量。

乌木

但是，对于2而言，也有相似的2与3关系以及2与4关系；
对于3而言，也有相似的3与4关系以及3与1关系；
对于4而言，也有相似的4与1关系以及4与2关系。
这里有个循环，所以，恐怕还是四者平等的吧？

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-8-29 22:45 编辑 ]

钟七珍

虽然：“1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，”
　　但它们追逐的路线不是“正三角形”的边，而是球面正三角形的边。这个“球面正三角形”的内角和大于180°，它的三条边都是圆弧

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2011-8-29 22:49 编辑 ]