【E蛋】平几趣题：嵌套问题

woodd

将我的楼拆了让给钟老.

暂先后排围观.

钟七珍

原帖由 mowxqq 于 2011-9-26 22:09 发表
包容空间中9个棱长为1的正8面体的最小正8面体的棱长为多少

　　思考了一天，能包容空间中九个棱长为1的正八面体的最小正八面体的棱长似乎只能为3。再小就装不下。
　　不过，这个棱长为3的大正八面体，在装下了九个棱长为1的小正八面体后，还能继续装下十个棱长为1的小正八面体，和32个棱长为1的小正四面体（这时这个边长为3的大正八面体就充满了）。

将9楼原题修改如下似乎更恰当：
　　包容空间中九个棱长为1的正六面体的最小正六面体的棱长为多少？

mowxqq

好吧，在空间中的推广似乎完全被束缚了.

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-9-28 12:26 编辑 ]

woodd

单看钟老题目:
"包容空间中九个棱长为1的正六面体的最小正六面体的棱长为多少？"

我觉得答案:

3

至于 mowxqq 所述,深度好高,我愚钝,仍需要几天慢慢消化.

mowxqq : "(期待有人能找到或者**此结论)"

有个词被和谐,两个字元中间要用空格来隔开.

csgg

没想一道小题引发了大家的讨论，太好了！

mowxqq

只能推导正多面体呈对称排布时的最小包容壳的一些形态，在这种情形下可以证明9个边长为1的正八面体的最小同形包容壳边长为3，目前发现2种不同的组合：(1)就是钟老提出的先以3*3=9个正八面体以3*3铺开，然后在这9个正八面体之上还可以嵌入4个正八面体，在这4个正八面体上面还可以嵌入一个，这样就是边长为3的正八面体可以包容19个边长为1的正八面体;(2)在一个边长为1的正八面体的八个面上各粘一个八面体，能够包容这种刺球的最小正八面体边长也为3。
对于不对称的情况。。正在琢磨怎么改进证明方法。。

若把题目改成求能够包容9个边长为1的正方体的最小正方体的棱长，那么可以证明即使在不对称的情况下，最小同形包容壳的边长是3.

对于平面嵌地砖的问题尚有很大的研究空间，空间嵌立体的问题应该更有挑战性。

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-10-1 01:19 编辑 ]

woodd

原帖由 mowxqq 于 2011-9-30 22:32 发表
只能推导正多形呈对称排布时的最小包容壳的一些形态，在这种情形下可以证明9个边长为1的正八面体的最小同形包容壳边长为3，目前发现2种不同的组合：(1)就是钟老提出的先以3*3=9个正八面体以3*3铺开，然后在这9个正八 ...

mowxqq 的意思是我答对啰!

但我仍然无法真正理解你当初的设想.

Cielo

组合数学里面好像有“堆球”问题。

钟七珍

　　将八个小正方体放在大正方体内的的八个角上，在大正方体边长为３的情况下，中间那个小正方体则与周边的八个小正方体角顶角。而此时，可以将中间那个小正方体在垂直方向和水平方向上都扭动一下，脱离八个小正方体，这样就可以缩短八个小正方体之间的距离！
　　14楼、16楼错误。
　　我计算的结果，包容空间中九个棱长为1的正六面体的最小正六面体的棱长为2＋(√2)／2　。答案居然与2楼平面嵌套的结果相同！巧合？

Cielo

截面刚好就是平面情形，所以答案是同一个数。