阶魔方 --- 概念定义

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Fenz 发表于 2014-9-11 20:09

19楼所指出的性质同样适用于24Cube、Big Chop以及类似的深切魔方，把它们都称为二阶魔方？ 显然不适合。
它们只是二阶正六面体的性质，并不是所有二阶的性质。二阶五魔就不满足这些。

同样过体心的切割，在转面正六面体上，会刚好经过四个侧面的面心，以及侧棱的中点；在转面正四面体上，则达不到面心和棱的中点，切割深度较浅；而在转面正十二面体上，则完全超过了侧面，属于深切了。
可见是否将魔方切成两半，并不决定切割深度。

要总结什么是偶数阶的性质，什么是二阶的性质，不妨从标准形状的二阶正六面体和二阶五魔中归纳。
切面过体心，二阶五魔不符合，舍去。
切面过相邻面的面心，都符合。
切面过相邻棱的中点，都符合。
切面过上面所说的面心和棱中点的连线，都符合。
一旦切割深度超过这条连线，一个面就和它邻面的邻面有共同块，属于深切魔方（如水晶五魔）。
所以这条线标注了切割深度，区分是否深切魔方。
此即定义中第4点的由来。

有一个切面刚好达到上面说的线，就是偶数阶魔方，只有这种切面，就是二阶魔方。这比看是否达到体心更合理。
Skewb并未达到这条线，应是三阶（直观看，有一个棱块两端连着角块，一个角块连着三个棱块，也应该是三阶才对）。

18楼提到的魔方按转面看，是二阶正四面体魔方没错，按转角看当然可以和后面正八面体转角那个归为一类。然而一阶“魔方”应该是没有切面的骰子。戴了个帽子能转，就不是骰子了吧。这一类相当于只有中心块的魔方，参照唯棱魔方，叫它们唯中心魔方比较合适。骰子完全没有变换，唯中心魔方有色相会变换，所以并不该有“一阶”的属性。

　　
　　
  
    我还是认为：
  
  
    1、“怎样的魔方叫一阶魔方？”，这是一个根基性的问题，是一个无法回避的根本。
  
  
    2、因为 1 的问题，才会让 楼主 产生“一阶魔方”戴上“帽子”就变成“二阶魔方”
  
的说法。对于这种“二阶魔方”，我们是断然无法接受的。比如下面这个 正六面体骰子
  
戴上帽子 无论如何我们不能叫它 正六面体二阶魔方 ！！！
  
  
  
  
    或者换句话说，我早就发现： 对于 正四面体 魔方而言，它有“降阶”的特性（特质）。
  
对于 正四面体 魔方而言，由于“正四面体”的“转面魔方”旋转 等价于 “转角魔方”旋转，
  
因此才会产生戴“帽子”的现象，而这个“帽子”（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。
  
　　
　　
    3、正是因为 2 中对于 正四面体 魔方而言，它有“降阶”的特性，才使我更加坚信地
  
确定 Skewb 的阶数应该是 2 。 　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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　　哦，忘记说了，下面的魔方应该叫 正六面体一阶全色魔方 。
  
  
     
　　
　　
　　
　　
　　

Fenz

ggglgq 发表于 2014-9-12 10:20
　　
　　
  

22楼的魔方是二阶？我可没发表过这种观点，我认为它不是阶魔方，也没有定义阶概念的理由。“一阶魔方”带了帽子，就不再是一阶了。加宽三阶不再是三阶，是一个道理。

二阶正四面体魔方和22楼的魔方一样属于只有中心块的魔方，这个类别没有阶的概念。但它同时属于阶魔方，满足二阶魔方的定义。2这个阶数与22楼的魔方无关。

把正四面体魔方减去一阶的做法太牵强，尤其是用到高阶上。
阁下在19楼提出何为偶数阶何为二阶的标准，我提出了这个标准的问题，并做出了修正。如今阁下却回避标准而从外推出发继续称Skewb是二阶，只能算佐证级别，没有足够的逻辑依据。佐证的话还有一条：二阶只有角，Skewb有棱有角。这便是三阶的特点。

正四面体和正六面体之间，有这么一种五面体————正三棱柱
正三棱柱二阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=c34443)、正三棱柱三阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=cb34443)
正六面体N阶——正三棱柱N阶——正四面体N阶
要合理的过渡便不应该给某一个形状特殊对待（如减去一阶）

以上为我的观点阐述，然而要想达到共识而非开辩论赛，就得先解决几个核心的分歧

彼此的分歧如下
分歧一：什么是一阶魔方
彼：带帽子的骰子
此：骰子
分歧二：“帽子魔方”的阶概念
彼：它们是一阶魔方
此：这个类别没有阶的概念，这类魔方要么没有阶，要么也属于另一个有阶的类别
分歧三：什么是偶数阶，并且是二阶
彼：19楼所述，符合的魔方： 二阶六面体、Skewb、24Cube、Big Chop、最深切五魔等；
此：20楼所述，符合的魔方： 二阶六面体、二阶五魔、二阶三棱柱等，如主楼大图第一排。

至尊达哥

懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

至尊达哥

懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

Fenz

至尊达哥 发表于 2014-9-12 20:52
懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

一句话没法搞定，可以用一幅图概括，就首页那张大的，第一排是二阶，第二排是三阶

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    从 23 楼尤其是“彼”的“分歧”看出，可能 楼主 没能理解我的意思，我还是
  
解释一下为好。
  
    首先，21 楼我并没有否认 楼主 的方法在其他几何体的“阶”的定义，甚至非常
  
支持在其他 非正四面体 的 正多面体 上采用这样的定义。21 楼只是在举例强调由于
  
“正四面体”的“转面魔方”旋转 等价于 “转角魔方”旋转，从而导致这个“帽子”
  
（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。因为 正六面体一阶全色魔方 可以很形象地类比
  
“帽子”可以被“摘掉”，“帽子”不改变“骰子”的属性，所以才举了那个例子。
  
    下面我把 21 楼的关键的例子内容澄清一下：
  
    因为 1 的问题，才会让 楼主 产生“一阶魔方”戴上“帽子”就变成“二阶魔方”
  
的说法。对于这种“二阶魔方”，我们是断然无法接受的。
  
  
     
  
   
     或者换句话说，我早就发现： 对于 正四面体 魔方而言，它有“降阶”的特性（特质）。
  
对于 正四面体 魔方而言，由于“正四面体”的“转面魔方”旋转 等价于 “转角魔方”旋转，
  
因此才会产生戴“帽子”的现象，而这个“帽子”（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。
  
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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    其次，“帽子魔方”不只是一阶魔方，可以是任意阶魔方，“帽子”不改变“阶”的属性。
  
比如下面的 正六面体系列的“帽子魔方”，“帽子”不改变魔方“阶”的属性。
　　
　　

　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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    再次，可以定义“阶”的魔方 不但可以戴“帽子”，还可以额外伸出“拳脚”，但是
  
这些“拳脚”都不改变魔方“阶”的属性。同时“拳脚魔方”不只是一阶魔方，也可以是
  
任意阶魔方。 例子我就不举了，大家看看 “魔中魔”系列魔方 就知道，同构异形了。
  
  
    当然，可以定义“阶”的魔方，可能还有其他我们未知领域的魔方，它是魔方的一个
  
重要分支。这里我非常赞同 楼主 关于魔方“群的定义”，根据群的定义，或许可以让
  
我们用 “mf（M×N×……）” 来定义 “M×N×…… 阶魔方” ……
　　
　　
　　
　　

Fenz

ggglgq 发表于 2014-9-13 11:09
　　
　　
  

这个魔方

存在争议正常，因为从不同角度看，它同时属于两种类别。
从转角看，所有块都是中心块，它是“帽子魔方”。
阁下认为帽子魔方阶等同于摘掉帽子，而我认为帽子魔方没有阶属性。
从转面看，所有块都是角块，满足阶魔方定义，属于二阶魔方。

看问题应该从各个方面看才对，不能单单将其看做转角魔方，就算给帽子魔方定义了阶的属性，这个魔方也应该有两个阶属性才对，作为阶魔方的阶——2，作为帽子魔方的阶——(存争议，你我各自认为是 1 和 不存在 )

28楼的魔方并非帽子魔方啊，它们就是标注了方向的三四五阶正六面体而已，没有能单独转动的“帽子”。
“伸出拳脚”自然是不会改变魔方的任何属性，包括阶属性，然而加了帽子则不同，帽子能转动，便多了一个切面，以及许多新状态。再比如三阶加了帽子，变成加宽三阶，便实际上出现了与五阶面块相同的簇，不再是三阶了。

魔中魔系列有各种不同的转动限制，与前面讨论的魔方都是不同的。其无限制版本（全自由面）和加宽三阶同构异形。有的两个限制版本（全1面和全0面）实际上是捆绑成了一个颜色三阶和一个方向三阶，其它魔方捆绑合并簇，变成阶魔方当然是可能的。


关于四面体降阶的观点
1、只从个别魔方出发，非所有同类魔方中总结，更从未考虑高阶情况；
2、两个魔方降阶的理由不同，不具有可推广性；
3、Skewb降阶的理由不合理（这点我阐述过两遍，而阁下又回避了）；
4、独立了正四面体，破坏规律对各种情况的统一性。

Skewb的三阶性，我再举出一个佐证：四面体百慕大魔方。能百慕大化的阶魔方，阶数一定是3，因为百慕大化实际上是棱角易位加中心块变形，必须有棱块、角块、中心块，除中心块外无面块的三阶魔方才能做到。