为什么无色向簇的块无色向？

earthengine

原帖由 <i>earthengine</i> 于 2008-9-13 17:49 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=238143&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
Cielo，我提示一下估计你就能明白了，即使别人可能还不明白。1、把魔方的层转面转看成无数个点在整体变换位置（在同一个块里，这是连续变换，因此相邻的点变换到的位置也相邻！）。2、魔方的一个块有方向，是因为在某 ...

<br><br>命题：在魔方表面随便点一个点，其坐标为(x,y,z)，如果一个公式f能把魔方表面上的这个点移动到(x',y',z')，那么必定有一个整体翻转的动作，也能做到这点。<br><br>证明：如果F的长度为0，那么F是空公式，显然这时候“不动”的整体翻转就与它等价。<br>假设f的长度为n时命题成立，那么长度为n＋1的任意公式可以写成fX，这里f是一个长度为n的公式，而X是一个基本转动（层转／面转90度或者180度）。设f把(x,y,z)移动到了(x',y',z')，因为f长度为n，因此有一个整体翻转c能把(x,y,z)转到(x',y,'z')。如果X对(x',y',z')没有影响，那么这时候因为X对(x',y',z')没有影响，所以这个c已经符合要求。如果X把(x',y',z')进一步移动到(x'',y'',z'')，由于在N阶正方体魔方里面，所有基本转动都是绕某一通过中心的轴线转动90度／180度，因此这个X也不例外。那么与之对应的有一个相同轴线上转90度／180度的整体翻转C，它同样把 (x',y',z')移动到(x'',y'',z'')。这样，容易看出cC就可以满足定理的要求。从而定理得证。<br><br>以上证明了任意点所能到达的位置均可通过整体翻转到达。但是因为整体翻转只有24态，因此任意点所能到达的位置只有24个。<br>

乌木

<P>据21楼所述，即可明白一个“有色向”块为何“有色向”，一个“无色向”块为何“无色向”。你琢磨琢磨下面的例图：三阶的某个棱块的某一色片有如图所示的24个可去之处；四阶的某个棱块的某一色片的24个允许的落脚点又是什么样的！</P>
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earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-9-15 21:03 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=240078&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
据21楼所述，即可明白一个“有色向”块为何“有色向”，一个“无色向”块为何“无色向”。你琢磨琢磨下面的例图：三阶的某个棱块的某一色片有如图所示的24个可去之处；四阶的某个棱块的某一色片的24个允许的落脚点又 ...

<br>你的理解很到位。对于角块可以同样用色块分析。但是对于面心块，只能将它切成4块再分析了。不过因为证明的时候我用的是点，因此不受影响，所有这些情况都能适用。<br><br>这个证明是一个很好的例子，说明对于“整体翻滚”的研究有助于理解很多魔方现象。<br>

乌木

四阶的心块也可以不切成四块，画个箭头上去，它就有（箭）头、（箭）尾、（箭）左、（箭）右之朝向区分了。同一心块在24个心块位置上，其箭头的朝向个个都是确定不变的，也即它无论移动到什么心块位置，在该处再怎么倒腾都是无法就地变向的。这一顽固性，你可以到Puzzler中用全色四阶实际看到的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-15 23:40 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-9-15 23:24 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=240168&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
四阶的心块也可以不切成四块，画个箭头上去，它就有（箭）头、（箭）尾、（箭）左、（箭）右之朝向区分了。同一心块在24个心块位置上，其箭头的朝向个个都是确定不变的，也即它无论移动到什么心块位置，在该处再怎么 ...

<br>&nbsp;我说的心块专指奇数阶最中央的那个块。要分析那个块的变化需要把它切成4块。<br>对于偶数阶的面块，如上所述，你在上面随意选2个点（比如象你说的画个箭头，箭头的首尾两点就可以），这两个点肯定都是一起移动的，且因为每个点都有24个位置，确定了一个点的位置另一个就确定了。所以它不可能再有别的方向。相反，奇数阶中央心块有一个不动点，因此它到不了全部24个位置。因此当箭头起点选在该点时，起点不动的情况下终点还能移到别的位置，这样就形成了方向。

乌木

也就是说，奇阶魔方的六个中心块是有方向性的块，不属于本帖题目的讨论对象。