魔方贴色与最少步的关系

咖啡味的茶

我也想参与期中啊。。

大烟头

<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-27 11:35 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=224916&amp;ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 三色魔方的状态数可以通过把正常魔方的总状态数除以正常魔方限180度转动（这种转动永远把三色魔方从复原态变到复原态）所能达到的状态数来进行计算。 具体到三阶，在限180度转动时，角块分成了2个族，棱块分成了3 ...

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>一个打乱后的三色三阶魔方，层转180是成另一种状态。</P>

earthengine

原帖由 <i>大烟头</i> 于 2008-8-27 20:03 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=225328&amp;ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

&nbsp;
一个打乱后的三色三阶魔方，层转180是成另一种状态。

<br>这个跟计算没有关系。需要证明的只有一个事实：任何正常魔方状态经过颜色映射到的三色魔方，如果处于复原态，那么原来的魔方必然可以通过层转180度还原。如果这个证明了，那么计算就是正确的。<br><br>证明要点如下：<br>1、从一个正常魔方状态出发，我们可以把它映射到一个三色魔方状态，以及一个可以180度转还原的状态。这个映射是不会重复的。于是正常魔方的状态数不会多于三色魔方状态数和180度状态数的积。<br>2、从一个三色魔方状态和一个180度状态出发，我们可以映射到一个正常魔方状态，也不会重复。于是三色魔方状态数与180度状态数的积也不会多于正常魔方状态数。<br>于是两者的数目只能是正好相等。<br>

大烟头

<P>三色魔方就是普通三阶魔方用三种颜色贴纸贴成，相对的两个面颜色一样，这三色魔方的状态数计算：</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>以一个角块为参照点时：</P>
<P>角位：7！</P>
<P>角色：3^6</P>
<P>棱位：12！/2^6</P>
<P>棱色：2^11</P>
<P>中块位：6</P>
<P>三色魔方的状态数：7！× 3^6 ×12！×2^5 × 6</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>有疑义可以讨论。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>---------------------------------------------------------------</P>
<P>以上计算有误，我重新算一下，以魔方外为参照点。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>三色魔方中八个角块从贴色上来说有两种，有四个白红蓝顺时针的贴色，有四个白红蓝逆时针的贴色。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>角位总状态：8！/（4！*4！）</P>
<P>角色总状态：3^7</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>三色魔方中12个棱块从贴色上来说有三种，有四个白红棱块、有四个红蓝棱块、有四个蓝白棱块。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>棱位总状态：12！/（4！*4！*4！）</P>
<P>棱色总状态：2^11</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>三色魔方中的6个中块从贴色上来说有三种，两个红色中块、两个蓝色中块、两个白色中块，相同颜色的中块是在对面</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>中块位置总状态：3*2</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>三色魔方总状态数＝[8！/（4！*4！）] * （3^7） * [12！/（4！*4！*4！）] * （2^11 ）* （3*2） / 24</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>24是魔方外为参照点时的同态。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 大烟头 于 2008-8-29 13:33 编辑 ]

pengw

又在玩脱衣游戏

大烟头

不同贴色方案的魔方总状态数是不一样的，这总状态数不是每个人都能算得出来，要有一定的魔方常识与空间想象力才行。忍大师你对这脱衣游戏不一定能搞得定，不然这三色魔方总状态数是多少的问题在理论这么多年还没人答出，只说明理论区无人也。

earthengine

原帖由 <i>大烟头</i> 于 2008-8-28 20:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=226408&amp;ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
三色魔方就是普通三阶魔方用三种颜色贴纸贴成，相对的两个面颜色一样，这三色魔方的状态数计算：
&nbsp;
以一个角块为参照点时：
角位：7！
角色：3^6
棱位：12！/2^6
棱色：2^11
中块位：6
三色魔方的状态数 ...

<br>你这个计算把许多重复（或者说在贴色方案下不可分辨）的状态算重复了。比如，如果两个面对角线上的两对角块都在原始位置，交换这两对角块可以得到同一状态。这在你的公式里如何体现？<br>

大烟头

<P>

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-28 22:02 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=226529&amp;ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 你这个计算把许多重复（或者说在贴色方案下不可分辨）的状态算重复了。比如，如果两个面对角线上的两对角块都在原始位置，交换这两对角块可以得到同一状态。这在你的公式里如何体现？

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>把你的计算列式列出来我看下，我要分析下我们两人的计算方式有哪些出入</P>

earthengine

要计算状态数，我们需要知道的是：什么样的状态被看成是一样的。而这个可以通过观察三色复原态所对应的魔方态来定义。以下等式是一个广为人知的定理：

正常态数目=状态子集数目 * 对应于子集中复原态的状态数目

根据这个定理，我们来看看正常魔方的状态有多少种可以看成复原态。显然每个角块可以有4个位置，共2组，每个棱块可以有4个位置共3组。每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。至于方向，在复原态下方向是不能动的。
于是得到
对应于复原态的状态数＝4!^5/4
正常魔方状态数＝3^8*2^12*8!*12!/12
故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)

考虑中心块方向的时候比较复杂，要取决于如何定义这个状态子集。这里就略去。

smok

什么叫魔方的相同状态？！哈哈哈，楼上的三阶计算方法没有一点技术和变换规则含量，纯粹是手工组装数据除以穷举找到的错误数加一，那么请问全色三阶又该如何计算？