最少点确定矩形的问题

noski

还是这个图，帮忙分析一下：

在这里，我是使得每三个蓝球处于一个平面上，确定了三个平面，面上的点的分布是3,3,3,1,1,1
那么，要使面上的点分布成为2,2,2,1,1,1，不妨假设我们只要保证图中的三条线段A,B,C在面上即可。
问题在于：A,B,C三条线段，能唯一确定三个平面吗？过A,B,c都有无数的平面，满足条件的有多少呢？

骰迷

樓上貌似正解...
三點決定一個面，三個互相垂直的面確定相交點，再以三個點作限制。
只是不明白，三個紅點所在的線，有何用途？若紅點不在該線上，則不能成立嗎？

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-1-7 22:41 编辑 ]

noski

画线只是为了表示那个点在哪个面上，不必要在那条线上的。。
20楼A,B,C三条线段是否能唯一确定三个两两垂直的平面的问题，我还不确定。。

夜的十四章

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 16:56 发表
修正  “骰迷” 的   『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，
    面方程可表示为 z＝a*x＋b*y＋c
    6个面方程，18个未知数
点在面上，那么点的坐标满足其中的一个面方程， ...

AX+BY+CZ+D=0是直线的形式而不是面
A1X+B1Y+C1Z+D1=0和A2X+B2Y+C2Z+D2两式连立才能构成一个平面
所以6个面最多需要12个式子确定,至于垂直不垂直,只与ABCD有关与XYZ无关
如此看来点可以在12个或者12个以下了~

46楼说的没错,是我记反了~~,所以上面这些解释可以当它是废话了``

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-10 14:47 编辑 ]

夜的十四章

确定一个平面,首先要有三个点,而且这三点不共线
一个长方体内需要确定2个相邻面的法向量,可以求出第三面的法向量
而一个点再加一个向量可以确定一个面
那么有6个面,就需要6个点,和2个法向量,少一个点,就会使这个面和对面面的距离无法确定,所以一定需要这6个点,是这至少6点的必要性,这些点不可能在两两面交线上,否则就失去了存在的意义
那么法向量需要几个点来表示呢?
我们知道法向量是垂直于平面的,而平面需要由3个法向量来表示,我们需要两个法向量就需要确定两个平面
而一个平面需要3个点确定,两个平面就需要6个点来确定了
现在这6个点不排除与刚才的6个点重复,也就是说,无论重复与否,我们用6个点一定有办法确定2个平面,就能求出这2个面的法向量,再根据这2个法向量可以求出第3个和它们2个向量都垂直的第3个向量
和前面确定距离的6个点加起来
我们最多需要12个点确定一平面
之前有人求证出需要7个点或更多
所以这题目的答案只可能在7~12之间了!

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 05:28 编辑 ]

夜的十四章

我是这么认为的,或许不够严谨,不过值得推敲:
首先,解一个长方体,就是解出这六个面的方程,就象割豆腐,如果你把豆腐的六面都切一刀,无论这刀有多深,这个豆腐的形状一定是固定不变的,就算你横的那一刀有几十公里``呵呵这里开我小玩笑
言归正传
3点确定一法向量,这三个点需要在同一面上,也就是这2个法向量中的任何其中一个只可能和之前6个点中间的最多1点有关系,那么由于我们有2个法向量,故只可能与2个点有联系,而且这2个点不会是同一个点,也就是说12个点中最多有2个点是重复的
所以12-2=10也就是10个点确定一个长方体!

唯一性要用线代去计算了,好象有个A*B-C*C>=<0的三情况,还有好象用λ控制的东西,我都忘记了,惭愧惭愧..

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 05:54 编辑 ]

水磨鱼

点又少了``快接近六点啦```哈哈

俺还是坚持六点的``

夜的十四章

n元线性方程组Ax=B
有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n
R(A)是A的秩,R(A,b)是B的秩也可写成R(B)
就要证明R(A)=R(B)=n
若R(A)=R(B)[=N]<n则有无穷解(中括号中的N表示的是我们的最少需要方程数,即最少未知数数量,也是这个方程的秩r)
所以转化成求R(A)的秩,而它的秩就是最少公式数[我们默认A为满秩矩阵,故R(B)==R(A)]

不会算啊555谁会根据我35#的解释来用线代计算出它的唯一性???

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 18:40 编辑 ]

水磨鱼

俺刚回复的贴子``
http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1

骰迷

剛剛想到，從矩形引申的：
＃15的矩形，先以三個點決定直角，再在另外兩條線上點。
現引伸至長方體：先以五個點決定三個面，再在另外三個面上各點一點。
雖然我點八個點好像是走回頭路，但我覺得還是有一定的價值。因為實際情況可能與理論不符的嘛。就向樓主的帖，說要用六個點來確定矩形，背後還有理論支持呢。
但現實是點的方式不同，可以直接排除其他的可能性。
所以我覺得是否必須9個點，還是有商榷的餘地。

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-1-8 08:56 编辑 ]