几个根基东西的证明 [复制链接]

邱志红

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发表于 2006-11-24 18:03:26 |只看该作者

（Part4）

重新认识中心块。

上面一直都没有讨论中心块的色向问题，现在我来专门谈谈我的见解。

我觉得建立模型分析魔方问题的时候不应该囿于魔方的实际结构，不应该把魔方的数学模型分析图搞得像机械结构图一样，但要确保能忠实地反映魔方的转动方式及变化规律。

下面讨论中心块的时候，我把6个中心块，每个中心块都划分成4个小块，然后编上1-24号。具体的怎么标对问题的实质并没有影响。

有下面更新的定理：

三阶魔方棱簇，角簇，中心簇位置状态排列的奇偶性一致。

证明：用数学归纳法来证明

1.初始状态三簇都是自然的排列，都属于偶排列。

2.假设魔方转动k次，三阶魔方三簇位置状态的排列满足该定理。暂设k为奇数，则三簇位置状态的排列都为奇排列。

转动k+1次时，某一表层四角，四棱，中心四小块各自进行一次四轮换（顺时针或逆时针），等价为各簇进行了3次对换。则三簇位置状态的排列同时都变为偶排列。满足定理

k为偶数的时候页可以同理证明。

由1，2则定理得证。

这就比开头提出的定理更加一般化了。包含了中心块的变化规律及三簇的相互制约关系。

现在关于三阶魔方中心块的命题都可以解释了。

中心独立变化问题。

中心块独立变化的时候，角簇与棱簇不发生位置变化，位置状态的排列都是偶排列。则中心块的位置状态的排列就必然是偶排列了。而初始状态也是偶排列，那么必须经过偶数次对换才能得到。而转动一次等价于3次对换，必须转动偶数次（或者不转）才能等价于偶数次兑换。

所以中心块独立转动90度是不可能实现的。而独立转动180度则是可行的，两个中心块各转动90度也是可行的。

[此贴子已经被作者于2006-11-24 18:12:06编辑过]

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乌木

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22^#

发表于 2006-11-24 20:58:14 |只看该作者

还不大懂。试试解读22楼，帮我看看对不对。
您说“ k为偶数的时候也可以同理证明。” 好，试试：
1.初始状态三簇都是自然的排列，都属于偶排列。
2.假设魔方转动k次，三阶魔方三簇位置状态的排列满足该定理。暂设k为偶数，则三簇位置状态的排列都为偶排列。
转动k+1次时，某一表层四角，四棱，中心四小块各自进行一次四轮换（顺时针或逆时针），等价为各簇进行了3次对换。则三簇位置状态的排列同时都变为奇排列。满足定理。
…………

这三处蓝色字改得没错吧？下面继续解读：

您说“1.初始状态三簇都是自然的排列，都属于偶排列。” 好，我就把通常所说的的六面复原态作为初始态，它是偶排列的。对吗？
取k＝0，做第k+1＝1转－－U 后，原来四个角1 2 3 4次序（读者自定一下即可）变为4 1 2 3。
好，这4123经过1次“4和1对换”变为1423，第2次对换2和4，次序变为1243，第3次对换4和3，次序就是1234。可见，上面说，做第k+1转后，确实等价于（角块）进行了3次对换。
那么，这4 1 2 3属于奇排列，对吗？（我还不大清楚为何1234是偶排列的话，4123就算奇排列，大概那“三次对换”就算改变奇偶性了。再说吧。一口吃不成胖子。）
对棱块和中心块来说，类推。

最后问一下：您说“初始状态三簇都是自然的排列，都属于偶排列。” 那么，任何合法态（包括扰动态和非扰动态）都是“自然的排列”吗？它们就没有奇排列吗？或许您是假设它们都属于偶排列？也或许您是选取它们之中的偶排列？

[此贴子已经被作者于2006-11-24 21:02:52编辑过]

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