习题集（答案已汇总）

lulijie

哦，我理解成周长的和了。

Osullivan

后面两道期待lulijie给出漂亮解答~~~~~~~

superacid

lulijie好像对数学竞赛研究很深啊！

superacid

显然有f(2n+2)=f(n)+f(n+1),f(2n+1)=f(n)，貌似那个集合就是全体正有理数集。
f(2n)/f(2n-1)=1+f(n)/f(n-1)，f(2n)/f(2n+1)=1+f(n-1)/f(n)
下面证明每一个正有理数p/q(p,q互质)都在集合内：
若p>q，则p/q必为f(2k)/f(2k-1)=1+f(k)/f(k-1)，也就是说p/q与(p-q)/q同时在集合内或同时不在集合内。
若p<q，则p/q必为f(2k+1)/f(2k)=1/(1+f(k-1)/f(k))，也就是说p/q与(q-p)/p同时在集合内或同时不在集合内。
用这样的无穷递降法，必能得到p/q与1/2或2/1同时在集合内或同时不在集合内。
又f(2)/f(1)=2/1,f(3)/f(2)=1/2，所以1/2,2/1在集合内，所以所有正有理数在集合内

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-8 11:14 编辑 ]

noski

第五题
可不可以这样：

如下图：
1. 如果两个小正方形是靠边放置的，那么如图那样放在两个对角上，可以看出其边长之和要小于1；
2. 如果一个正方形靠边，放在一个角上，另一个任意倾斜，如图1红色，也易证两个正方形都靠边才是最优情况，这又回到情况1；
3. 如果两个正方形都倾斜，就类似乎于图2的情况，证明黑色方块和红色方块哪个大的问题，可证得，黑色的方块更大一些，所以固定一个黑色的方块在角上，这又回到情况2。

superacid

用数学归纳法：显然将一个矩形切成3块是肯定满足条件的。
假设切成n≤k块都满足条件，考虑切成k+1块的情况。
显然每一个小矩形的边都平行或垂直于大矩形的边，不妨设大矩形的边平行或垂直于x轴,y轴。
是某一个小矩形为[a,b]×[c,d]，b-a为有理数，则将大矩形的所有x∈[a,b]都切去
注意：原来的小矩形边是有理数的现在还是有理数，原来是无理数的现在还是无理数
切去后的大矩形就变成了1或2块矩形，每块含有的小矩形数≤k。
由归纳假设即得证。

superacid

就是这么做的，去我还没来得及发表呢，先被你抢去了
至此，题目全部搞定，用了26楼，其中有好几楼是废话。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-8 11:35 编辑 ]

q376997368

留下足迹，放假在研究吧
Ps：第一题我就不会勒，谁发个解法啊