[原创]N阶正方体色子阵魔方基本置换分析和证明:第一版

pengw

魔方是有限离散元素构成的内部置换系统属于离散数学讨论的范畴,群论是离散数学的一部分.从经验中可知,一个簇每转动一次(一次四轮换),簇的扰动状态就改变一次,而簇的置换状态是极其复杂的,四轮换的块可能是环外的孤点,也可能环内的块,也可能分属不同的环...凡此种种,难以枚举,都有可能,远比1-4楼的讨论复杂很多,没有人见过这个命题的反例,否则PENGW早在火山喷发中化为灰尽，我们真的就侥幸逃脱反证的阴影了?我们该如何去求证这个“难题”？我的经验是，不难，不是每一种问题都可以正面迎对或非要正面迎对才能解决的，这个问题的解决，会揭示魔方深藏的一个几乎跟公理等价且意义非凡的潜规则，容大家想想，不要急于要求答案

[此贴子已经被作者于2007-3-27 19:51:14编辑过]

乌木

“位移簇任意四个块的一次四轮换改变簇的当前扰动状态”（待证）；

“四轮换的块可能是环外的孤点（1）,也可能环内的块（2）,也可能分属不同的环（3）...”；

我想，对于（1），原有环不变，新增一个四元环。

对于（2），可能原环内部的位移次序变化，原环的奇偶性不变；也可能原环被破坏，结果无法一概而论。即使刚发生四轮换的四个块也不一定构成一个四元环，其中如有哪个块恰好回到基态的原位的话，它就不属于任何环了。

对于（3），更复杂了，我想不下去了。

如果根本不去理睬环不环的，则又无法谈扰动不扰动了。我不知道是不是一定要引入扰动概念才能揭示魔方的状态变化等规律的？这个问题也蛮重要，冬兄一定对此有说法的，对吧？国外的有关数据一致，但是他们的分析方法是否一样？他们也用扰动概念吗？还是扰动概念仅是方法之一？

[此贴子已经被作者于2007-3-12 22:27:12编辑过]

pengw

乌兄分析得已经很到位了，命题是可以证明的。显然对问题进行一个一个的摸排是不现实的，不知道魔魔方方能不能用群论处理这个命题。关于扰动利用的必要性，我的理解：

1。对状态计算，我的算法是基于扰动分类来计算状态，我不知其它高级工具是不是可以对扰动视而不见，想听听魔魔方方的意见，魔方组合原理的计算数据一部分来自对魔方拆卸和组装，不是真正意义（全部基于魔方已知的变换性质）上的状态计算

2。对状态表达，如果不靠公式来申明，我看不出如何让扰动安静

3。对公式循环周期极限预言，离开扰动，不知该如何着手

4。或许我叫扰动，也许别人还有等价的叫法，但如何对扰动关系视而不见，我也想不出来

乌木

  智力数字转盘 的50楼中，烟兄说：

[二、两对换公式（如1与2的两对换）

“。。。20、（2、1、3、4、）5。。。”两对换后成：

“。。。20、（1、2、3、4、）5。。。”

公式：[ /（←1）/（→1）/（←1）/（←3）]×5（乘以5表示中括号内的公式重复做5次）]

其中，每一个“/”都发生两个二交换，假定这也是不产生或不消除“扰动”的，但是最后结果是一个二交换，即20个子的“扰动态”改变了。可见不能把魔方规律移植到智力数字转盘的。魔方中的最小动作（某一层转90°）对某一簇的扰动态的改变是依靠四轮换（1234变成4123）；数字转盘的最小动作“/”产生的是两二交换，例如1234变成4321，不同于魔方。即使魔方某层转180°，例如“U2”，所产生的两二交换也是使1234变成3412（要经综合运用四轮换才能变成4321）。总之，两种玩具内在规律不同。

pengw

从簇的角度，本质上，任意位移簇都允许二置换，从魔方的角度，任意位移簇可以独立进行三置换但不是总可以独立进行二置换，二阶的角块和四阶的棱块是允许独立二置换的，而三阶的所有位移簇必须同时进行二置换，这就是基本扰动关系约束，不管进行我少次二置换，最后的状态是奇数个二置换，就不能被三置换复原，也就是说被扰动。簇层面的置换，跟一个没有空位的离散元素组成的内部自由置换系统的性质没有区别。

上面的例子中，乌兄忽略一点，U的结果将被三置换转换为二置换，U2的结果将被三置换抵消，本质上簇层面是充许自由置换的，只是簇结合成魔方，就不总是允许了，事实上只有二个例外，二阶和四阶。

扰动关系的本质就是回答那些簇可以共同参与四轮置换或二置换（中心块90度转动可以视为四个块缩为一点的四轮换）

[此贴子已经被作者于2007-3-13 9:05:29编辑过]

pengw

我觉的乌木提出“某元环”这样的术语很好，我想将此术语纳入N阶定律的术语中，当要强调块数时N个块组成的环称为N元环。环本质上跟置换等价.

当强调动着时：称二轮换，三轮换，四轮换。。。N轮换

当强调状态时：称二元环，三元环，四元环。。。N元环

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各位同意否？我已意识到描述上的缺陷

[此贴子已经被作者于2007-3-13 10:41:38编辑过]

大烟头

QUOTE:

以下是引用pengw在2007-3-10 11:42:28的发言：

一。相似变换

定义

设有公式F和f，f'是f的逆，F'=f'+F+f,则将F不变的所有F'互称关于F的相似变换，简称相似变换

 

 

 

最早有魔方前辈出书中所说，设有公式F和f，f'是f的逆，F'=f'+F+f，那公式F'就为公式F的共轭公式。

 

为何到忍大师本贴中又成了相似变换。

[em01]

乌木

噢，好像在冬兄之前邱兄在《一式解万方》中就叫这为相似变换了：

“相似及相似变换

　　这里的相似不是引用几何里面的相似，而是引用高等代数里面矩阵的相似。数域 P 上的两个 n 阶矩阵 A 和 B, 如果在数域 P 上存在 n 阶矩阵 X, 使得 B=X -1 AX. 就说 A 相似于 B. 记作 A ～ B.

　　类似地我定义 :n 阶魔方的两个操作 A 和 B, 如果在 n 阶魔方中存在操作 X, 使得 B=X^-1AX. 就说操作 A 相似于操作 B. 记作 A ～ B.

……”。

乌木

还有，在《魔方词典》一帖中，有：

“Conjugates 魔方的XYX'等价变换法则。（相关链接：http://www.progsoc.uts.edu.au/~rheise/cube/step3.html http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/theory.htm#conjug）”

这个Conjugates，词典上有“共轭”的解释。

看来，讲的都是同一桩事情吧？

pengw

始于同一始态的F与f'+F+f,除了参与变换的块可能不对应相对同外,其它一切相同.所以,用相似变换更为恰当,共轭有几何对称之意,而相似变换从结构上看,与对称没有任何关系.

"相似变换性质"使得变换与块的位置没有必然关系,进而使得魔方置换,色向,扰动的描述变得极其简单,如果没有意识到这一点,一些文章就去穷举位置相关的很多公式,导致不必要的冗长和混乱.

特别是,相似变换与循环公式的关系是如此地微妙与简单,彻底击碎了一些装神弄鬼理论的脊梁,栽在相似变换脚下,很是有意思.

相似变换是魔方最重要的基本变换性质.

[此贴子已经被作者于2007-7-10 17:40:31编辑过]