【悬赏】立体几何难题

superacid

现在水平不够高，看一部分图看不出来

lulijie

设L1、L2、L3方程为： (参数方程)
L1： x=x1+r1*h1
        y=y1+s1*h1
        z=z1+t1*h1
L2： x=x2+r2*h2
        y=y2+s2*h2
        z=z2+t2*h2
L3： x=x3+r3*h3
        y=y3+s3*h3
        z=z3+t3*h3
上述只有h1、h2、h3为变量，其他都是常数（与直线的位置有关）
设符合要求的直线L0方程为：
L0： x=x0+r0*h0
        y=y0+s0*h0
        z=z0+t0*h0
x0、y0、z0、r0、s0、t0都是所求的值。
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因为两条直线共面，要么相交，要么平行。
L0与L1、L2、L3都共面，那么最多只能与其中的一条直线平行，
而与其中的一条平行且与其他两条相交的直线只存在一条，总共只有三条这样的直线，暂时不考虑。
下面只考虑与L1、L2、L3都相交的情况。
先考虑L0与L1相交：
    那么下式联立成立
       x=x1+r1*h1
        y=y1+s1*h1
        z=z1+t1*h1
       x=x0+r0*h0
        y=y0+s0*h0
        z=z0+t0*h0
  消去变量h1、h0，得
      (s1*t0-s0*t1)(x0-x1)+(t1*r0-t0*r1)*(y0-y1)+(r1*s0-r0*s1)*(z0-z1)=0    式子1
同理L0、L2相交得
      (s2*t0-s0*t2)(x0-x2)+(t2*r0-t0*r2)*(y0-y2)+(r2*s0-r0*s2)*(z0-z2)=0    式子2
同理L0、L3相交得
      (s3*t0-s0*t3)(x0-x3)+(t3*r0-t0*r3)*(y0-y3)+(r3*s0-r0*s3)*(z0-z3)=0    式子3

式子1、2、3共有x0、y0、z0、r0、s0、t0  六个未知量。
（x0，y0，z0)代表直线L0上的一点：
我们任意指定空间一个点（x0，y0，z0)，从上面三式联立，可解出r0、s0、t0一个解，代表
过空间任一点（x0，y0，z0)，只有一条直线与L1、L2、L3都相交。
而对于3个方程解3个未知量，一般情况下都有一个解。
所以过空间任一点（x0，y0，z0)，一般情况下都能做出一条直线与L1、L2、L3都相交。
所以所有符合条件的直线构成的图形必将布满整个空间。
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对这结果我还无法接受，大家看看这样的结论有没有错。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-13 19:48 编辑 ]

lulijie

由于直线L0方程中 的x0、y0、z0可以任意取，不妨都取在直线L1上，
那么x0=x1+r1*h1
        y0=y1+s1*h1
        z0=z1+t1*h1
代入式子1、2、3中，得到关于r0、s0、t0、h1的三个方程，
假设h1为已知量，解出r0、s0、t0的解。（关于r0、s0、t0的三元一次方程）
这样直线L0的位置可以用参数变量h1来决定，而h1的取值范围为整个实数系。
这样随着h1的取值变化，L0的位置、方向也随之变化，
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h1的渐变过程可以表现出直线L0的变化过程，
但所有的直线将遍及空间的每一个角落。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-13 20:19 编辑 ]

noski

这些计算结果说“过空间任一点(x0，y0，z0)，一般情况下都能做出一条直线与L1、L2、L3都相交”，
但是可以直观的想一下，考虑这些相交的情况：
过空间任一点P(x0，y0，z0)，且与L1相交的直线，是在P与L1确定的平面上，以P为旋转中心的一族直线；
这族直线中，要是有一条能够与L2和L3同时相交的话，除非：L2与平面PL1的交点M、L3与平面PL1的交点N、与P这三点共线。。而一般情况下是不能满足这个条件的。。

kelman

成数学讨论版了。。。。。

lulijie

过直线外一点，做与两条异面直线都相交的直线都只有一条，何况与三条异面直线都相交。
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确定L0的位置，除了满足
(s1*t0-s0*t1)(x0-x1)+(t1*r0-t0*r1)*(y0-y1)+(r1*s0-r0*s1)*(z0-z1)=0    式子1
(s2*t0-s0*t2)(x0-x2)+(t2*r0-t0*r2)*(y0-y2)+(r2*s0-r0*s2)*(z0-z2)=0    式子2
(s3*t0-s0*t3)(x0-x3)+(t3*r0-t0*r3)*(y0-y3)+(r3*s0-r0*s3)*(z0-z3)=0    式子3
很可能还缺了一个条件，有了这个条件，(x0,y0,z0)才不能随便选择。
在上面计算过程中，都没有用到下面条件（表示(x0,y0,z0)在直线L1上）
        x0=x1+r1*h1
        y0=y1+s1*h1
        z0=z1+t1*h1
完全可以加上这个条件。这样23楼的结论就正确了，除了最后一句话。
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直线L0的位置可以用参数变量h1来决定，而h1的取值范围为整个实数系。
这样随着h1的取值变化，L0的位置、方向也随之变化。
h1的渐变过程可以表现出直线L0的变化过程。
大家有兴趣可以解出直线L0的参数h1表达式。（就是解一个三元一次方程）

lulijie

还是不对，
       x0=x1+r1*h1
        y0=y1+s1*h1
        z0=z1+t1*h1
作为增加条件的话，
式子一就失去了作用。

superacid

很不幸地告诉你，你的答案是错的

argonium

满足条件的直线有无数条 构成一个曲面

lulijie

为了简化计算，取L1所在的直线为坐标系的x轴。
那么：
L1: y=0
      z=0
L2: x=x2+r2*h2
      y=y2+s2*h2
      z=z2+t2*h2
L3: x=x3+r3*h3
      y=y3+s3*h3
      z=z3+t3*h3
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点（x1,0,0)为直线L1上的一点。
过(x1,0,0)、L2的平面：
    x+(t2(x1-x2)+r2z2)/(t2y2-s2z2)*y+(s2(x1-x2)+r2y2)/(s2z2-t2y2)*z-x1=0
过(x1,0,0)、L3的平面：
    x+(t3(x1-x3)+r3z3)/(t3y3-s3z3)*y+(s3(x1-x3)+r3y3)/(s3z3-t3y3)*z-x1=0
过(x1,0,0)，与L2、L3都相交的直线方程为下列二式联立：
   x+(t2(x1-x2)+r2z2)/(t2y2-s2z2)*y+(s2(x1-x2)+r2y2)/(s2z2-t2y2)*z-x1=0    式1
   x+(t3(x1-x3)+r3z3)/(t3y3-s3z3)*y+(s3(x1-x3)+r3y3)/(s3z3-t3y3)*z-x1=0    式2
随x1的取值不同，直线的位置随之变化。
所以这些直线构成的图形，只要从式1、式2消去x1即可。
得：
((s2*z2-t2*y2)*x+(t2*x2-r2*z2)*y+(r2*y2+s2*x2)*z)*(t3*y+s3*z+s3*z3-t3*y3)=((s3*z3-t3*y3)*x+(t3*x3-r3*z3)*y+(r3*y3+s3*x3)*z)*(t2*y+s2*z+s2*z2-t2*y2)      式3
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所有这些直线构成的图形构成二次曲面。曲面方程就是式3

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-14 12:10 编辑 ]