魔方状态数修正案

rubik-fan

再以我的cross状态为例。刚才计算的总的状态数为19万多。而我现在就提出一下修改建议：按照复原（架好白色十字）步骤数为准。
最多需要0步：一种状态
最多需要一步：4*2+2=10（分别为三个已经架好，第四个一步到位顺逆两种，和需要底层顺逆转一下两种情况））但这就叫两个状态。
最多需要两步：………………
……
……
最多需要八步（目前假设任何case下十字最多八步，如果不对请知道的人指点）
总的有效状态数为上面之和。
那么可以把这些状态分成八组，每组的名字就是他们还原成十字需要的最多步骤数。

由此推广到魔方总状态数：
假设魔方最多需要26步还原，那么总状态数可以细化成26组。
第一组中的状态为还原状态。一种。
第二组中的状态包括如下一些状态：所有需要一步就能还原的魔方状态。包括所有需要一步就能还原的状态。
如此26组状态之和，还是那个天文数字。
但是每组中都会有复原线路相同的状态。就是所说的“整体转动魔方后两者公式相同或者两者的复原公式为镜像公式”的状态。，他们就叫“等效状态”。
经过这样修复的“有效状态，肯定会远远小于那个天文数字。

请指点


此种方法为穷举法，当然没有可行性。所以我寻找高手计算。

乌木

<P>“……总状态数可以细化成26组……”，对，但别误解为N（＝4.3×10^19 ）/ 26。您这就是一般说的“态树”，它的各层含不同的态数，第一层0步态，一个态；第二层1步态，十几个态（转180°算不同步数的话，1步态数不同）；第三层2步态，多少个；…………过了一定层，数量达到极大值后，逐层减少。26步态时，若干个，结束。态树有个“大肚”现象，累计数为N。二阶魔方的态树有人已经贴出在本论坛中了。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>现在您是进一步说，这态树的同一层中，含有同构态。对吗？也是，1步态这一层是显然的，别的层应该也有。只不过有关这问题的帖子好像很少，可能因为两个态是否同构不容易判断或者还有其它问题？还望哪位知道这问题的朋友指点指点。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>再想想，也许就是这个：论坛中有人在计算二阶态树时，把符合某种规律的48个态选一态为“代表”，态树“瘦身”了，总态数从原有的3674160个减少为77802个，等等。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>还有，楼上计算是指三阶魔方下两层已复原，第三层棱块颜色已翻正但位置未调好，角块的位置和颜色都未复原，如果是全色魔方的话，中心块取向未复原，所有可能的状态数。可能有的读者一时不知道，我多说几句。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-21 19:37 编辑 ]

noski

如果有一个公式A，另一个公式B是把A做了一半，整体转了个方向继续做A，那这两个状态会被楼主认为是同样的状态吗？

乌木

<P>您说“……每组中都会有复原线路相同的状态。就是所说的‘整体转动魔方后两者公式相同或者两者的复原公式为镜像公式’的状态。……”，我认为这里可能混淆了两个问题。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>态树中没有两个态的“生长”路线完全一样的，否则就属于同一态了，在态树上只有一个位置了。不同路线的两个态还有可能属于同态而被消除一个呢。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>您那后半句是对的，两个不同的态，其中一个经过魔方整体旋滚，两者的复原公式（不是沿“生长”路线逆走回去）可能一样，那个旋滚过的魔方复原后，得逆旋滚回来，两者就真正完全一样了。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>这情况和它们在态树上还未复原时属于两个态，并无冲突。严格说，魔方一做整体旋滚，从魔方外看起来，和原状就不同了。而你所说的“复原公式一样”什么的没涉及中心块簇，仅考虑了棱块和角块的动作。同样的公式使两个态朝着各自的参照－－中心块簇复原，从魔方外看，公式一样，但站在参照中心块簇的立场上看，两个公式并不一样。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我说不大清楚，或许说错。总之，感到涉及不同参照的描述时，要把握正确。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-21 23:26 编辑 ]

乌木

<P>比如，下图中态1和态2是两个同构态，所谓它们的复原公式一样，看来要不计魔方整体旋滚的动作，才算公式一样。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P> </P>

乌木

<P>上面我尽管用了图，好像还未理清思路，继续理。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>看来，讨论同态等问题时，用中心块簇为参照方便：让中心块簇一致，再比较两个态，很容易判断是否同态。比如这两个态不是同态：</P>
<P> </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>但在讨论同构等问题时，还是从魔方外观察为好：魔方不动而观察者绕着魔方转，或观察者不动而魔方旋滚，也就是以魔方的周围环境为参照，允许中心块簇随着魔方一起动，则上图两个态成为下面这样，它俩是同构态，“复原”步骤可以一样：</P>
<P> </P>
<P>有如“地心说”和“日心说”各有自己的用途。</P>