以下是引用pengw在2005-4-4 8:31:16的发言:
1.知识准备
掌握N阶定律,对普通排列组合知识有所了解
2.对象声明
除特别声明外,缺省以全色N阶正立方体鲁毕克魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定"
3.计算依据
扰动关系代表了基态簇与扰动簇的组合关系,扰动关系数代表基态簇与扰动簇的所有可能的组合.
依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同
保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数
4.计算方法
从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数
将所有簇的簇状态数相乘
将第2条的计算结果乘以扰动关系数.如果是偶阶魔方,计算结果要除24,以消除同态图案
5.公式推导
5.1全色魔方有色向簇的簇状态数计算
依据中心块簇内变换原则:
中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2
中心块色向状态数:H=4*4*4*4*4*2=211
依据簇内通用三交换及色向变换原则:
中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2
中棱块簇状态数:M=(24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*4*2)/4=12!/2*211
边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3
边角块簇状态数:A=(24*21*18*15*12*9*6*3)/6=8!/2*37
5.2全色魔方无色向簇的簇状态数计算
用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知,任意无色向簇状态数:C=24!/2
5.3纯色因子
对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有24*24*24*24*24*12种相同状态,设W为纯色因子
w=24*24*24*24*24*12=95551488
一个面的所有心块簇中,属同簇的块都有四个,这四个总状态为4!它们间的对换在纯色中是看不出来的,有六个面一簇共计有纯色因子w=(4!)6/2(为何除2,目前我搞不懂的)
5.4纯色魔方无色向心块簇状态数计算
设纯色魔方无色向心块簇的簇状态数为E
E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488)
纯色魔方的心块簇的簇状态数E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488)=24!/(4!)6(又冒出一个2也搞不懂,不过刚好两个搞不懂的都消除了)
5.5纯色魔方无色向棱块簇状态数计算
对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同花色的边棱块,依据簇内三交换原则,纯色魔方与全色魔方的无色向棱块簇的状态数相同,即24!/2
5.6扰动关系计算
用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知:
n>=1
R=2n
嗯,这个R=2n 是忍大师的计算核心的内容啊
纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除扰动关系Φ外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数.
扰动关系Φ这东西我还要去大论里查一下了。
5.7偶阶魔方图案数计算
5.7.1阶数定义
n>=1
阶数=2n
5.7.2同态分析
偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.
这情况是计算时没以魔方块为参照点,所以要除以24。
5.7.3全色魔方
无色向簇的总数=n2-n
设这偶阶为n阶时,无色向簇(就是24块的簇)的总数= [(n-1)2-1]/4
有色向簇的总数=1
这个有色向簇就是角块了
图案数P=A*Cn2-n*2n/24
中心块色向状态数:H=211
中棱块簇状态数:M=12!/2*211
边角块簇状态数:A=8!/2*37
无色向簇状态数:C=24!/2
2n阶的图案数P=A*Cn^2-n*2n/24=(8!/2*37) * [(24!/2)n^2-n]*2n/24
N阶的图案数P=A*C[(n-1)^2-1]/4*2n/24
=(8!/2*37) * [(24!/2) [(n-1)^2-1]/4]*2n/24
=7!*36 * [(24!) (n^2-2n)/4]*2n-1/2(n^2-2n)/4
=7!*36 * [(24!) (n^2-2n)/4]/2(n^2-2n)/4 -(n-1)
=7!*36 * (24!) (n^2-2n)/4 /2(n^2-6n+4)/4
老外全色偶阶公式=7!*36 * (24!) (n^2-2n)/4 /2(n-2)^2/4
奇怪了,结果不对啊!难道我计算有误?
5.7.4纯色魔方
任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w),此计算排除相同簇状态
无色向棱块簇的总数=n-1
无色向心块簇的总数= n2-2n+1
有色向簇的总数=1
图案数P=A*En2-2n+1*Cn-1*2n/24
5.8奇阶魔方图案数计算
5.8.1阶数定义
n>=1
阶数=2n+1
5.8.2同态分析
由于中心块相对位置不变,不含中棱块的转层不能产生与魔方整体转动相同的效果,因此奇阶魔方状态无偶阶魔方的同态问题.
5.8.3全色魔方
无色向簇的总数=n2-1
有色向簇的总数=3
图案数P=H*M*A* Cn2-1*2n
5.8.4纯色魔方
任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w), 此计算排除纯色导致相同簇状态
无色向棱块簇的总数=n-1
无色向心块簇的总数= n2-n
有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除
图案数P=M*A*En2-n*Cn-1*2n
6.相关说明
纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果.
7.纯色分析
7.1簇内二义问题
纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性,这些簇的块要么四四同色(心棱块簇、直棱块簇,心角块簇),或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇
7.2图案同构问题
同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案.
某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同构图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构图案.
7.3扰动缺失问题
导致扰动关系缺失,如三阶的扰动关系丢失中心块扰动,但扰动关系总数不变
8.计算举例