与魔方有关的问题

earthengine

原帖由 <i>Cielo</i> 于 2008-8-22 11:26 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219941&amp;ptid=11384" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

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也许earthengine 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。

<br>我说的就是这个没错。基本上，自由度就是说，你能随意确定多少个节点的位置。对于LU来说，我们只能确定其中２个，然后只能剩下一个４轮换。所以它的自由度是３。<br>

Cielo

等了这么久也没人给出证明
发一部分书上的答案吧：
与28楼的想法类似，用数字来代表可以动的6个角块，ufl=1，ulb=2，ubr=3，urf=4，dfr=5，drb=6
那么U的效果是（1，2，3，4）（也就是说块1到了位置2，2到了3，3到了4，4到了1），
R的效果是（6，5，4，3）

下面是比较巧妙的一步：我们不只是考虑一个角块，而是考虑由两个角块组成的“角块对”。由于我们已经用数字表示了，所以也就是考虑“数对”：ｉｊ（ｉｊ和ｊｉ表示同一个“角块对”，所以不妨设ｉ<ｊ）

这样一共有6C2=15个“数对”，我们将它们分为5组，每组3个。

但具体怎么分呢？未完待续，这也算是个提示吧，希望大家能继续思考）
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:04 编辑 ]

Cielo

接着发答案吧：

15个数对分为5组，分别是
A={12，35，46}
B={16，23，45}
C={15，26，34}
D={14，25，36}
E={13，24，56}

现在U使12->23，35->45，46->16，也就是A->B，于此类似可以发现，U实际效果是形成了轮换（A，B，C，D）
而R形成了轮换（B，C，D，E）

也就是说，对于任何一个由U、R形成的公式，它的效果是形成了ABCDE的一个排列。
下面要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
（未完待续）
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:05 编辑 ]

Cielo

要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
实际上就是要证明：如果公式Z将ABCDE的某一个排列仍变回那个排列本身，那么Z实际上没有改变原来所有角块的位置。…………①

下面用反证法，
假设Z将 i 号角块移到 j 号角位，由于ｉｊ下标对（不考虑顺序）必然在ABCDE的某一个中，不妨设为A，
由于Z仍将集合A变为A自身，而ｉ变为ｊ，所以ｉｊ变为ｊｉ；

然后考虑另一个集合B，则B中有ｉｋ和ｊｍ；一定可以找到一个集合，不妨设为C，其中有ｊｋ和ｉｎ，ｎ≠ｍ，这是因为ABCDE的取法决定的。

由于Z仍将集合B变为B自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉｋ与ｊｍ互换，即ｋ与ｍ互换；
类似的，Z仍将集合C变为C自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉn与ｊk互换，即ｎ与ｋ互换；这样得出ｍ＝ｎ，矛盾！则①得证。

这样由于ABCDE这5个集合的排列只有5！=120种，所以至多只有120种状态。

而很早就有回帖说至少120种，所以就正好是120种了。
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:08 编辑 ]

焚寂

围观一下吧！！！看的一头雾水！！！