分割正五边形

慧通

以下是引用乌木在2006-6-25 23:35:19的发言：

以上是22楼的计算，（FB×FB）还是严格等于原五边形面积的（只不过21楼的拼法得到的四边形EFBG不是正方形而已），怎么会“……面积小得多！”呢？等着明天看通兄的图。

等到过24点后，也许能上传了。

慧通

这类问题有个比较简单的方法进行分割，即是先画好许多个五边形，另在透明纸上画好许多个正方形，相迭后转动透明纸上的正方形图，以寻求满足分割的交会点。

而在电脑上也可以相迭后转动其图，当然现在的问题是先要求出正方形的边长。

慧通

看看这个图正方形边长起码要多长！

乌木

通兄说“相似性瞒过了眼睛”，“首先要解决相同面积的正方形边长问题，如何用作图法作出。”看来问题是在这里。至于作图法求BF不难（见下图），难的是如何把这“BF”捣鼓到原五边形或变换后的例如平行四边形之类的什么图形中去（那个第1次变出的平行四边形可靠吗？是平行四边形吗？如果不是，则谈不上什么什么的比例中项的！下图也就是无意义的。）

[此贴子已经被作者于2006-6-26 0:18:18编辑过]

乌木

前面算过，b＝1.3116697 a ，

而上述BF×BF＝ cos18°＋sin36°＋sin18°×sin36°＝1.7204774，

故BF＝1.3116697 （a＝1）。问题是，那第1次变换的是否为平行四边形？

[此贴子已经被作者于2006-6-26 0:41:01编辑过]

慧通

慧通

正方形面积比第一种作出的要小，而相似性极大地欺骗了眼睛。

通过精确作图后可以看出不能成立，看来本题还是没法解决。

可以说，第二种作图法也是不成立的。

慧通

这类问题首先要搞清楚那些角度用尺规是无法作出来的。

乌木

33楼表明，所取的正方形边长b小了点，即应该再大一点；36楼通兄的两个图中边长b大概是按照BF取的（对吗？）如果原图的红色BF画得准的话，BF应该比33楼取的b要大，即36楼那两个正放着的正方形应该超过五边形顶点B（即应该掩盖B），可是图中都未超过。问题出在哪里？看上去您的两个正放着的正方形的边长取小了。不管它也罢，反正与分割无直接关系。关键是两个斜放的正方形的边长没问题，它们直观地表明我21楼的拼法得到的不是正方形！由此，yoyo贴出的“五边形－－平行四边形”及这个平行四边形的分割法是否有问题？最后，那书上的答案是怎样的？
总之，设想一个古代裁缝要把一块五边形布料改为正方形的大王旗，他也许只能弄出个接近于正方形的、实为菱形的大王旗，糊弄糊弄大王了事。
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yoyo

惭愧啊 书上答案就是这样 我也没好好证明一下 闹笑话了

[em15]