小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》

earthengine

原帖由 <i>ggglgq</i> 于 2008-8-20 21:40 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219137&amp;ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 很愿意同 乌木 先生进行有意义的探讨！&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 为了简明，举一个简单的例子：&nbsp; &nbsp;&nbsp;&amp;n ...

<br>我同意逆是唯一的。但唯一的是变换。如果用纯粹的数学术语，广义魔方就是置换群，或者群在一个集合（节点－位置映射）上的作用。群的元素本身并不是状态，节点集的具体映射才是状态。所以单位元在群这个层次上是唯一的，但在节点集这个层次上可以随意指定初始状态，然后得到状态和群元素的唯一对应。<br><br>更新：现在明白你和乌木的分歧了。他理解的逆状态是指一个变换的前后状态互逆，而你的逆状态则是状态对应的变换互逆。这根本就是两个概念。<br>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-21 22:03 编辑 ]

pengw

群起作用的仅仅是在同一个交群内，而魔方上有岂止一个簇，即岂止一个群，这些群与群之间到达是一种什么关系，还是没有关系？这才是须要懂群论的人发挥作用的关键地方，有人说得清楚吗？目前说清楚的人，只用了初中知识。

bbshanwei

太理论的问题看不懂。

Cielo

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-20 22:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219189&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<H2>回复 36# 的帖子</H2>
<DIV class=t_msgfont id=postmessage_219189>
<P>谢谢。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>你说“ 在“群论”中，我们称“整数的相反数”为“整数的逆”！并且每一个元素（状态）的“逆”（逆状态）是唯一的。”</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>这里，你把群论中的“元素”替换以“（魔方的）状态”，看来是可以的咯？（我是不懂的，问问。）</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>整数和整数的相反数可以排在一根数轴上，而魔方的状态和魔方的逆状态将如何排队？什么态相当于1，什么态相当于2，……3，……4，…………？相当于1的魔方态和相当于－1的魔方逆态如何区别？即谁算“1”谁算“－1”？如果它们已经像整数、整数相反数那样排好了，我捣乱地把复原态两边的、相应的两个魔方态的位置对换一下，能被发现吗？</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>或许这里谈不上仿照整数那样的“论资排辈”，那么，至少（比如）4.3×10^19－1个态要被分为两类，分别“堆”在复原态的两边吧？可是4.3×10^19－1是个奇数，怎么分为两部分呢？是哪一态找不到自己的逆了呢？</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>还有，30楼earthengine说：“初始状态不一定是复原态。……”，看来他错了？你不是说他群论好吗？</P>[<I> 本帖最后由 乌木 于 2008-8-20 23:33 编辑 </I>]</DIV>
<P>

</P>
<P>魔方的状态确实可以构成一个群。但是它与整数加法群有点区别：</P>
<P>整数加法群是无限群，而且可交换（即满足交换律）；但魔方群是有限群，而且这个群的运算法则远比整数加法复杂，所以无法仿照整数“论资排辈”，但是可以作出魔方群的凯莱图（见《解集球》<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12838&amp;extra=page%3D1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12838&amp;extra=page%3D1</A>），这样能更直观的来看待魔方群。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>也正因为如此，您想分为两类也是无法实现的。正如乌木先生在39楼所说，从复原态作U2，它和自身就互为逆状态，更特别地，复原态本身也是这样。</P>
<P>&nbsp;</P>

ggglgq

&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cielo 说的不错！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，36 楼仅是举例强调“逆”的“唯一性”。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 乌木 先生以上几个问题的冲突关键是： 整数群是一个可交换的无限群，<BR>&nbsp; <BR>而一般魔方是非交换的有限群，二者不可能构成一一对应的关系！ <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 相关内容感兴趣的魔友可自行查阅相关资料！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;

ggglgq

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-21 08:00 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219291&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;<BR>
<P>“是哪一态找不到自己的逆了呢？”</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>对此问题，我想想，是否这样：魔方毕竟不同于数轴，若g老师所说是对的－－除了复原态之外，每态有自己的唯一的逆，那么，在此，还得把“消同态”时排除出4.3×10^19的、类似“UU态”和“U'U' 态”之一的态请回来亮亮相，或者说，4.3×10^19中，有些态的逆就是它自身，它（们）无须分堆于复原态的两边的。看来，魔方和数轴的区别不是一点点啊！还是别拿数轴出来瞎比划为好。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>顺便，若把复原态和比如“UUUU态”也看作一对互逆的态，或把复原态看作“自身逆”的态，则在此问题上复原态就不特殊了，它也有逆－－自身。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>问题是，除了复原态外，这种“双重国籍”般的态的数目一定要是奇数，才能使复原态两边的、互逆的态都能一一配对。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我不会证明那种态的数目一定是奇数，哪位证明一下？如果证反，岂不是有至少一个既“无逆”又非“自身逆”也不是复原态的态，这是什么怪物啊！</P>

<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 另外强调，您提到的 正六面体 N 阶魔方 所谓“双重国籍”身份的状态<BR>&nbsp; <BR>（应该包含 复原状态，因 复原状态 的逆也是自身）的总数一定是 偶数 ！&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>您的说法不错！ 这个关于 正六面体 N 阶魔方 命题非常简单，大家可以自行<BR>&nbsp; <BR>讨论证明！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-8-21 08:00 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=219291&amp;ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
“是哪一态找不到自己的逆了呢？”
&nbsp;
对此问题，我想想，是否这样：魔方毕竟不同于数轴，若g老师所说是对的－－除了复原态之外，每态有自己的唯一的逆，那么，在此，还得把“消同态”时排除出4.3×10^19的、类 ...

<br>你以上的分析，不就已经证明了吗？这是典型的反证法：先假定奇数假设不成立。然后得出存在怪物变换。但是怪物变换当然不可能存在，因为违反了任何变换存在唯一逆的定理。于是假设被证明成了定理。<br>

溪风

学术精呀！！学习中。。