基本变换证明题之一：三阶中棱块色向定理

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-8-30 22:55 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=228295&amp;ptid=13122" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
噢。那么，所谓色向变化的“反”也就是棱块色向的180°切换，对吗？所谓色向变化的“两个都反”也就是参与中棱块色向变换的两个块都180°切换，是吧？
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如果参与的两个棱块在变化前的色向是一正一反，变化后 ...

<br>盲拧编码是有方向依赖的。但我们可以有一种没有方向依赖的编码方式：类似盲拧的三色编码，但没有高中低之分。棱块所在的两个面都与中心块相符，则为0。只有1个相符为1。都不相符时，如果原地翻转就相符时编码为1，否则为0。这种编码方法能确保任何90度转动都会改变编码。<br>

乌木

<P>也就是说，任一棱块离开了它复原态时候所属的两个表层的7个位置，跑到另外5个棱位的话，它的编码总是为0，哪怕它（和另一棱块同时）就地180°翻一下，编码还是为0，永无出头之日－－这个“0”和它在复原态的编码0含义好像有所不同，对吗？你的棱块色向编码还与其位置有关，对吗？那个棱块要想改换编码，只有回到那7个位置之一才行，是吧？此编码法用于盲拧的话，棱块的位置复原和色向复原是一起做的吧？同样的三轮换还有翻色情况不同好几种，恐怕盲拧起来速度是快些难度却更大些吧？</P>
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<P>这问题与1楼问题关系好像不大，编码方法应该不影响1楼问题的结论。1楼问题应该就是为何三阶棱块翻色不能单单翻一个，至少两个。1楼题目似乎隐含着没有位置的变化。为了问题简单、集中，最好也别动位置－－初态可以是打乱态，但讨论1楼问题时只需要在初态基础上有关棱块就地翻色，不必让移位掺乎进来吧？除非探讨最少步问题。</P>
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<P>或许用你的编码法，处理起来简单些（如果证明1楼问题时要利用到棱块色向编码的话）？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-31 08:43 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-8-31 00:18 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=228406&amp;ptid=13122" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
也就是说，任一棱块离开了它复原态时候所属的两个表层的7个位置，跑到另外5个棱位的话，它的编码总是为0，哪怕它（和另一棱块同时）就地180°翻一下，编码还是为0，永无出头之日－－这个“0”和它在复原态的编码0含义 ...

<br>不是这样的。在每个棱位它总是有一个方位编码为0，另一个编码为1。因此就地翻和90度转移位一样永远是改变编码的。原因是，因为我们只有3种颜色，而棱块两个面的颜色和所在面各有2种颜色，因此必然有一个相符的颜色。因此不存在原地翻转编码依然是0的问题。<br><br>附表：棱块编码<br><br>把棱块上的颜色编码记为色1和色2，第三种颜色记为色3。所在面颜色记为面色1和面色2<br>面色1&nbsp;&nbsp; 面色2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 编码<br>色1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0<br>色1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>色2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0<br>色2 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>色3 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0<br>色3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 色2 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 1 &nbsp; <br><br>这样应该容易看出原地翻转和转90度永远改变编码的性质。<br><br>根据这些性质，可以证明：一个棱块只能经过偶数步移动到编码为0的方位，奇数步移动到编码为1的方位（180度转算2步）。<br>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-31 06:51 编辑 ]

pengw

回42楼：你对一楼的的命题理解是正确的，我要求的就是用魔方结构定义的基本变换-四元置换来证明这个问题，棱簇只有一种基本变换，那就是四元置换。编码本身是对色向规则的应用而不是证明色向规则，谁都知道棱二元色向变换，知道不等于是证明。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-31 09:13 编辑 ]

乌木

<P>噢，我忘了你是把6色分为三类（每类两种，即对面色），且不分级别的。色向编码虽是顺便带出的另一话题，但如果1楼题目的证明中要利用色向编码，应可用各种编码法，而你的方法或许好些，我瞎猜。</P>
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<P>照你说的，一个棱块（连同奇数个别的棱块一起）就地翻色的话，要奇数步还是偶数步？我试下来是偶数步。再就地翻色，也是偶数步。它在色向1和色向0之间切换，都是偶数步。这结果好像和你说的“一个棱块只能经过偶数步移动到编码为0的方位，奇数步移动到编码为1的方位（180度转算2步）。”不同嘛？是否你这里说的只适用于异地变色向，不适用于就地翻色？</P>
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<P>我的实验步骤是R U D' F U D' L U D' B U D' 。</P>
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<P>比如只看顶右棱块，是否这12步中牵动到顶右棱块的动作只有R 、B 和最后第二步的U，这样倒是奇数步了。但这顶右棱块在色向0和1之间、就地切换，就都是奇数步，并非一会奇一会偶的嘛？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-31 09:40 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-8-31 08:58 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=228491&amp;ptid=13122" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
噢，我忘了你是把6色分为三类（每类两种，即对面色），且不分级别的。色向编码虽是顺便带出的另一话题，但如果1楼题目的证明中要利用色向编码，应可用各种编码法，而你的方法或许好些，我瞎猜。
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照你说的， ...

<br>整体考虑，要保持棱块角块位置不动，总是需要偶数步。但是局部到涉及某一色块的移动次数则是奇数次翻色，偶数次复原。因为每次移动都只有4个块会动，所以你应该检查一下翻色的色块实际移动的步数。<br>

乌木

<P>我的实验步骤是R U D' F U D' L U D' B U D' 。</P>
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<P>比如只看顶右棱块，这12步中牵动到顶右棱块的动作只有R 、B 和最后第二步的U，这样倒是奇数步了。但这顶右棱块在色向0和1之间、就地切换，就都是奇数步，并非一会奇一会偶的嘛？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-31 09:44 编辑 ]

pengw

所有只涉及色向的变换都是偶数步（90度/步），此前早有论证

乌木

探讨1楼话题变成另一话题了，也好，也许先大致弄清棱块翻色和步数问题，方可议论1楼题目。pengw说总是偶数步，那么，是否集中议议为何（无论就地异地）翻棱块的话，至少两个。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-8-31 11:48 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-8-31 09:42 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=228532&amp;ptid=13122" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
我的实验步骤是R U D' F U D' L U D' B U D' 。
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比如只看顶右棱块，这12步中牵动到顶右棱块的动作只有R 、B 和最后第二步的U，这样倒是奇数步了。但这顶右棱块在色向0和1之间、就地切换，就都是奇数步，并非 ...

<br>我不太明白你的意思。3步翻转里面，原始状态方向0，R之后是不是变成了1？然后B之后是不是回到了0？然后U，是不是返回原位并变成了1？<br><br>我觉得你可能没有跟着棱块跑才会不理解。如果你跟着棱块跑，顶右(0)在R之后变成了后右(1)，B之后变成了顶上(0)，然后U之后回到顶右(1)。<br>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-31 09:59 编辑 ]