看上去很难的几何题

乌木

<P>我昨天说因为看不到的三个面是确定了的，故第8个顶点的位置是唯一的，这是假设看得到的7个顶点的位置是确定了的。现在想想我的假定有点问题：题目只给出了平面图，没有给出7个顶点的具体坐标，也就是说题目图没有表示各点和图所在平面的距离数值，只讲了是个凸六面体。</P>
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<P>有人说答案不是唯一的，我现在想想也许他们是对的。noski和g老师说的我不大懂，只想问问，题目的六面体不是“正直”的，g老师图中两根红线到了实际的不规则六面体上延长时一定有交点吗？（平面图上相交的话，立体空间不一定相交吧？）</P>
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<P>还有，两位得到的解一定是凸六面体吗？（仅据平面图可以把那看不到的三个面想像为是凸的，也可以想像为凹的吧？正如noski的另一帖介绍的“摇头龙”的脸部，实际是凹的，人眼会错看成凸的。）</P>
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<P>下图中随便画了三个第八顶点，看上去都行，是否错了？错在哪里？或者，除了noski和g老师说的一个解之外，下图的这类“解”都代表非凸六面体？如果是的，题目的“凸六面体”条件很重要啊。或者下图的所谓“解”，是否三个面中至少有一个面不得不“折”为两个面了，整个不是六面体了？比如下面另一图的红色虚线那样，可能这个面沿此虚线折为两个面了，“四边形”破坏成两个三角形了。</P>
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<P>讨教于各位了。</P>
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[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-5 16:12 编辑 ]

noski

正因为g老师那两根红线在空间中不一定相交， 所以我说这还是一种特例法。<BR>
我算过了，不管这些顶点在空间中高高低低如何变化，只要是六面体，是凸的，那么被隐藏的顶点都会出现在上图的同一个位置。因此特例法可行。<BR>
41楼的红、绿、蓝三个点，粗看上去似乎也没错，但是这个顶点是三个面的交点。位置随便画的后果是，这个点只能同时处于两个面上，而不可能同时处于三个面上，导致六面体的某一面的四个点不共面，一个四边形也就变成了两个不共面三角形。<BR>
感觉可以用立体解析几何的方法证明出来。。

乌木

noski说得有道理。41楼我补充后看到了42楼，想到一起去了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-5 15:47 编辑 ]

kexin_xiao

这个特例其实就是答案,但需要证明是唯一答案.

ares_g

太棒了！<IMG alt= src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1"> 有人已经非常接近了。

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-5 16:03 编辑 ]

乌木

<P>还有，noski说的“不管这些顶点在空间中高高低低如何变化，只要是六面体，是凸的，那么被隐藏的顶点都会出现在上图的同一个位置。”大概不是说有多个解，而是指，随着有关顶点位置的“高低”变化，所求顶点的高低位置就随着变；前者确定，后者也确定。对吗？</P>
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<P>所以，44楼说要证明唯一性，那么，在只有一个那样的平面图的条件下，也只能给出不同条件下一系列顶点落在同一位置上而已。对吧？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-5 16:10 编辑 ]

ares_g

noski的意思是说，我们看到的图是一个6面体在一个平面上的正投影，无论这个6面体在投影的方向上怎么被拉长或缩短，8个顶点在这个平面上的正投影位置是不变的。

fang0402

太可怕了，最怕几何作图题

金眼睛

<P>终于到周末了，可以透口气了，看大家画得这么起兴，我也随便画了一个，不知对不对？<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"></P>
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<P>本楼的附图线较多较乱，画得匆忙，只是按着大体想法在画，确有错误，为了不搅乱大家的思维，我将其删除。</P>
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<P>我的思路及新的作图方法可以参考55#。</P>
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[ 本帖最后由 金眼睛 于 2008-9-6 11:43 编辑 ]

ares_g

49楼的看上去挺别扭的，不一定对吧？能证明么？<IMG alt= src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/shocked.gif" border=0 smilieid="6">