球面上的四只蚂蚁

Cielo

大家看29楼的图，可以发现ABCD这个有向空间四边形是有180°旋转对称性的，
转轴是：AC中点与BD中点的连线。

所以，如果最后聚于一点，那么必然是这轴与球面的交点，刚好是两个对称点！

以上只是一个观察而已，对解决问题没什么实质帮助……

mrmnm

原帖由 钟七珍 于 2011-8-29 13:21 发表
　　有四只蚂蚁A、B、C、D，平均分布在半径为1的球面上，A追逐B，B追逐C，C追逐D，D追逐A。都是按照球面上的最短距离去追逐。四只蚂蚁速度都是1。 那么，最终会怎样？四只蚂蚁能否碰面？能的话运动了多长时间和多长距 ...

我來猜一下
先在球上畫一個正4面体


標出4隻蟻


4隻蟻之間的最短距離


畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向


小小的推論一下, 當中軸是y軸, 不論4面体沿z/x軸轉, 都是不對稱的, 所以只能沿y軸轉
因4隻蟻速度一樣, 所以不論何時ab=bc=cd=da, bd=ac, 但ab跟ac卻可以不一樣
若把"追逐"視作把距離縮短, ab+bc+cd+da会盡量短, 考慮到上下平衡, 会成為一個圓形

我想最後会變成这樣吧,


加幾張不同角度的


[ 本帖最后由 mrmnm 于 2011-9-4 22:32 编辑 ]

lulijie

同意42#的结论。根据对称性：
A、B、C、D的地位是相等的，
AB、BC、CD、DA的地位是相等的，AC、BD的地位也是相等的。
在任何时候，蚂蚁的新位置为A'、B'、C'、D'，那么AA'=BB'=CC'=DD'，在整个过程中都成立。若最后汇聚于一点S，那么就要求AS=BS=CS=DS，在球面上是找不到这样一点的，所以是不会发生的。所以四只蚂蚁应该在一个大圆上无限循环，这个大圆根据对称性，应该是经过球心与AC、BD平行的平面与球截得的大圆。A'、B'、C'、D'分布在这个圆的四等分点上，不停的转动，转动过程中永远保持
AA'=BB'=CC'=DD'。就是我前面计算机模拟出的那个大圆。那个大圆就是精确的五点共面。最后计算机得出的汇聚于一点，是计算误差造成的。这也说明了，四只蚂蚁在一个大圆上运行是个不稳态，稍有偏离，就会演变到稳定态（即汇聚与一点）

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-5 01:07 编辑 ]

mrmnm

你真厲害啊, 解釋得很清楚
請問40樓的畫图軟件是什麼? 謝謝

lulijie

通过下面的叙述，大家对于为什么四只蚂蚁最后会在一个大圆上运行，会很好理解。
以球心作为原点，AC、BD的中点连线作为z轴，过原点平行于AC的直线作为x轴，过原点平行于BD的直线作为y轴，建立直角坐标系，我们用地球的经纬度来类比说明。
B、D在北半球，B所在的经度为0度，纬度为x度，那么：
初始位置：A东经90度，南纬x度
      B经度0度，北纬x度
      C西经90度，南纬x度
      D经度180度，北纬x度。
A追B，就要经过赤道（即xy轴构成的平面），同理，B、C、D都要通过赤道才能追上对方。在到达赤道之前，由于分布在赤道两边，是不可能追上对方的。随着时间的进行，蚂蚁离赤道越来越近，根据对称性，4只蚂蚁会同时到达赤道，并且位于四等分点上，从而四只蚂蚁永远在赤道
上周而复始的追赶着对方，永远不可能追上。

lulijie

回复44楼：
用的软件是自己用VB6.0编的程序。

Cielo

楼上两位说得对！

这个对称性本来应该很容易看出来的，只是一开始看到没有正四面体那么完美的对称，于是直接认为不对称了……

华容道

猜想3：“若四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境，则每一只蚂蚁与球心的连线与大圆所在平面都应有相同的夹角，这样的平面存在么？”通过楼上几位的分析答案是肯定的，就是垂直于对称轴的那个大圆所在平面!太妙了！

钟七珍

42楼：中轴的建立应是此题里程碑式的判断！
　　“畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向”！
　　我的理解：尽管四面体有６条棱，但四只蚂蚁追逐的路线只有４条。而这４条线首尾相连接，围成了一个４边形曲面，这个曲面的法线就只可能有一根！就是这根“中轴”。
　　往下，就容易理解这四只蚂蚁追逐的最终结果是一个大圆了。
　　而这个大圆却是一个不“稳”的大圆。这点，１４楼及不少帖子有详细的讨论。用电脑编程要用到小量误差，而这小量误差造成了大圆的不“稳”，所以运算的结果就追逐相会到一点了！

lulijie

下面计算蚂蚁爬行曲线的方程，和蚂蚁到达赤道花费的时间。
还是按照45楼的方法建立空间直角坐标系。采用地球系统的经度、纬度表示法。东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负。
初始位置也和45楼的一样。
下面以B为例建立曲线方程。B(w,j)表示t时刻，B的位置在北纬w，东经j的位置。
B的初始位置(w0,j0),    tan(w0)=sqrt(2)/2,    j0=0
可以得到以下微分方程：
dw=-sinw/ sqrt(1+(sinw)^2))*dt    纬度的微分与时间的微分的关系。
dj= -dt/sqrt(1-(sinw)^4)                 经度的微分与时间的微分的关系。（B的经度随着时间逐渐减少。）
两式联立消去dt，解出
   j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))         式1
或w=atn(e^j/sqrt(2))               式2     atn： 反正切
------------------------------------------------
从式2可以描出B的曲线方程。
    当j=-π时，B刚好绕球体半圈，这时，w=1.7502341982899068216149234499044°，接近赤道。
    当j=-2π时，B刚好绕球体一圈，这时，w=0.07565796826387070443024922587528°，已经非常接近赤道。
    j=-4π时，w=0.000014128700504914625558898770742487°。
但无论B绕球体多少圈，w永远不会等于0，即B永远到不了赤道，只能无限接近赤道。
也就是说赤道平面是4只蚂蚁的终极目标，只能无限接近，永远不会到达。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-7 00:20 编辑 ]