超级数学难题，困惑多时了。

shadowyang

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-16 22:57 发表
看我这个证明行不行…
由于f(x)+f(y)=f(x+y)，由于f(1)=1有f(0)+f(1)=f(1+0)有f(0)=0，用数学归纳法可以证明当x为有理数时满足f(x)=x，则有当x-->0时，f(x)-->0。令y-->0，则有f(x)-->f(x)，又由于f(x)+f(0)=f(x+0) ...

首先，我的证明用的是导数定义，导数定义就是0/0型的啊。

你的证明很启发思路，但是未知连续，有理数域也不连续。就是未知可求f（x）的极限啊。x-->0时，f(x)-->0，极限要求全体实数都满足而不是 有理数域 就可以。
举例来说，如果给你一个很小的无理数，你无法判断大小，看一下极限的定义，例如求x=0的极限是对任给a，存在0的邻域内所有数b都满足f(x)-f(b)的绝对值<a，由于无理数存在，所以那个极限不成立。
欢迎交流

shadowyang

说的很对，呵呵，才看见。
这道题应该是有问题的

ydhydg

我看着想头晕。。。。这是高中的题？？？？看来我到高中肯定会死好多脑细胞的~~~~

watergear

f(x)是R上的实函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。

证明：

1. 整数空间
f(x+0) = f(x) + f(0)
==>
f(0) = f (x+0) - f(x) = f(x) - f(x) = 0

数学归纳
f(0) = 0
f(1) = 1
a 为自然数, f(a) = a
==>
f(a+1) = f(a) + f(1) = a + 1

得f(x) = x，x属于N。

2. 有理数空间
对任意整数a, b
设c = (a + b) / 2
==>
a + b = c * 2 = c + c
f(a+b) = f(c + c) = f(c) + f(c)
f(c) = f(a+b) / 2 = (a+b)/2 = c

同理
设c' = (a + c) / 2, c'' = (c + b) / 2
则f(c') = c', f(c'') = c''

数学归纳（二分思想）
得f(x) = x，x为[a,b]之间所有有理数。

3. 无理数空间
无证。

superacid

你怎么证明 f(1/3)=1/3 ?

conwood

这个连续性的证明是错误的
你不能从f(0)=0推出来lim_{t\to 0}f(t)=0

原帖由 rubik-fan 于 2009-6-10 01:14 发表
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)=>f(0)=0
又f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0=>f(x)=-f(-x)即f（x）是奇函数。证明连续性：t-0时的极限limf(x+t)=limf(x)+limf(t)=f(x)即f(x)在任意x处是连续的。
现在证明了连续性和单调性。剩下的 ...

conwood

这个用1=f(1)=f(1/3)+f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)+f(1/3)可知吧

原帖由 superacid 于 2009-6-17 15:55 发表
你怎么证明 f(1/3)=1/3 ?

conwood

嗯，期待哪位能给出一个反例来，就一切都清晰了
虽然这个反例可能比处处连续处处不可导那个更诡异

原帖由 Cielo 于 2009-6-10 09:48 发表


但是题目里面没有要求函数是连续的，所以会有其他答案吧！

yq_118

好像是解决不了无理数的情况，难怪我想不出来。

conwood

原帖由 yq_118 于 2009-6-9 16:07 发表
太难了，实在想不出来，期待有高手帮忙解决。

f(x)是R上的实函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。

就两个条件，不要添其它条件啊！

答案是显然的，希望有过程。

参考资料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_functional_equation

从参考资料中可得到的结论(如果我理解的没错)：
1. 这个方程在有理数集合上的解f(x)=x是可证的，而且是唯一的。
2. 这个方程在无理数集合上的解不是唯一的，f(x)=x只是一个可能的解。

简单翻译一下参考资料：

柯西函数方程是表达形式最简单的函数方程(所谓函数方程，指含有未知函数的等式，具体可以用维基百科或百度百科查)之一，但是其在实数上的解却是极复杂的。这个函数的表示形式是：

f(x+y)=f(x)+f(y)
在有理数集合上，使用简单的代数就可以知道唯一的一族解f(x)=cx，其中c是任意的常数。这个解在实数集上也生效，加上一些限制，就可以把其他的解排除。比如：

• 如果f是连续的(Cauchy(柯西),1821年证明)，这个条件在1875年被Darboux减弱成f在至少一个点上连续。
• f在任意区间是单调的
• f在任意区间是有界的

如果没有额外的约束条件，在承认选择公理的前提下，这个函数方程有无穷多的解。这点在1905年被Georg Hamel证明。Hilbert(希尔伯特)第5问题是这个方程的一般情况(generalisation)


有理数下的证明(比较简单，略)
First put y = 0:
Then put y = − x:
Then by repeated application of the function equation to we get:
And by putting y = nx:
Putting this all together, we get:
Putting α = 1 we get the unique family of solutions over .



其他解的性质
我们下面证明其他的任意的解都必须是高度变态(pathological)的。特别的，我们证明任意的非平凡解y=f(x)的图像是致密(dense)的，也就是说，在平面内任意的圆内(不管多小)，里面必然包含了函数图像上的一个点。从这点也可以简单的证明，在前面提到的几个约束条件下，解必须是f(x)=cx


这个证明也不在这里翻译了，请去wiki原始页面查看。

使用选择公理的非平凡解的存在性证明也在wiki原始页面上有，请有兴趣的同学去看。