1×2×3魔方变化状态讨论

13thLOU

想得有点错误了，基本想法是通过循环来构建状态图....

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摆放如下

那么可执行的操作就只有：
R2, L2, F2, B2
因为R2和L2操作是同态，那是不是只要考虑R2, F2, B2就行了？

然后就得到两种循环：
1）R2和F2 或 R2与B2
12个状态
直径为6

2）B2和F2
4个状态
直径为2

把上面两种循环做为基础，构造整个1×2×3魔方的状态
发现貌似可以通过一个由正12边形以及4边形的三维图形表示

想象一下...

<del>每个4边形周围接了一个正六边形，每个正六边形周围接了3个正六边形以及3个四边形</del>

<del>各个顶点表示一个变化状态</del>

<del>但是这样看来，只考虑R2, F2, B2操作时123魔方只有 6×8 48种状态</del>




从1×2×3魔方拓展开来看，1×2×n魔方是否能够通过类似的方法进行总结？

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-24 07:30
试试画出“123”的变化图，老眼昏花，很容易画错，且每一图都要仔细检查有无同态，所以画得很慢，先贴出一部 ...

我画了一个草图，48种状态
只是画图中省略了很多重复的

有点潦草，等我去抄一遍...

我是以左手侧棱块作为参考块的，
可执行操作：R2, F2, B2
图中省略了"2", 写为R, F, B

使用类似此贴的表述方式表达：http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=86563

箭头方向表示 该角块向其正确位置的方向

因此倒着追溯箭头 代表的是角块的实际移动方向

可能有画错，求帮忙校对一下

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更新于26/08/2014
果然有错误啊...

换了一种表达方式，前两张图是所有状态列表，后面的表格是状态与状态之间的联系




录入版：

configurations  | Adjacent configurations
-----------------------------------------
Number      |  R2  |  F2  |    B2
-----------------------------------------
1                |   2        3        4
2                |   1        5        6
3                |   7        1        8
4                |   9        8        1
5                |   11      2        10
6                |   50      10      2
7                |   3        12      13
8                |   14      4        3
9                |   4        15      16
10              |   17      6        5
-----------------------------------------
11              |   5        18      19
12              |   21      7        20
13              |   22      20      7
14              |   8        23      24
15              |   26      9        25
16              |   45      25      9
17              |   10      27      28
18              |   29      11      30
19              |   31      30      11
20              |   28      13      12
-----------------------------------------
21              |   12      33      34
22              |   13      35      36
23              |   38      14      37
24              |   30      37      14
25              |   27      16      15
26              |   15      36      35
27              |   25      17      39
28              |   20      39      17
29              |   18      40      48
30              |   24      19      18
-----------------------------------------
31              |   19      42      41
32              |   
33              |   40      21      45
34              |   41      45      21
35              |   41      22      26
36              |   48      26      22
37              |   39      24      23
38              |   23      46      51
39              |   37      28      27
40              |   33      29      52
-----------------------------------------
41              |   34      53      31
42              |   35      31      53
43              |                  
44              |                  
45              |   16      34      33
46              |   52      38      50
47              |                  
48              |   36      52      29
49              |   
50              |   6       51      46
-----------------------------------------
51              |   53      50      38
52              |   46      48      40
53              |   51      41      42                               

手写版（供校对用）：

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-24 20:12
不知是否可以这样进行理论计算：
有一个角块固定不变，其余3个角块的位置变化为 3！
那三个角块的每一个， ...

是否可以这样算：
一个棱块固定不变，另一个棱块有２种色向变化
角块总共有４! 种变换
所以总变化：4! x 2 = 48

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-24 20:12
不知是否可以这样进行理论计算：
有一个角块固定不变，其余3个角块的位置变化数为 3！
那三个角块的每一个 ...

貌似角块只要位置正确，它的色向就正确

13thLOU

072320122 发表于 2014-8-25 13:03
对于1X2X3来说N！没有任何的必要

不清楚你是什么意思？
你说的N是什么？

13thLOU

072320122 发表于 2014-8-25 16:32
N表示任何一个整数

你是说不能用排列组合来计算总变化数吗？

13thLOU

072320122 发表于 2014-8-25 16:53
我认为阶乘没有任何必要，N!=(N)X(N-1)X(N-2)……-至N，对于角块可以用8！=40320.00所以得出角块的变化情 ...

不知道你说的 “所有角块都要做24/12的动作” 是什么意思？
不过在标准 NxNxN 中， 角块除了位置的变化，一个角块还会有自身的旋转变化

另外 1x2x3 魔方只有四个角块...

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-25 08:00
正是。和棱块不同，角块只有位置变化，没有独立的色向变化，位置变化的同时翻色，回到原位后，色向也回复 ...

问题是为什么 限制B2，L2的态图与限制S2，L2的态图结构有所区别
如果不是我画错的话，明显是限制B2，L2的态图更加优美一些

不知道能否通过 “S2 = B2 * F2” 来证明?

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-25 20:05
用一个棱块作参考块时，也可以画出一代一代“生长及消同态”式的直观态图的。
你给出的态图更专业。

更新了一下状态表
根据表格可以画出状态图
48个顶点，每个顶点的度均为3

有兴趣的同学可以试着画画看（我自己也会尝试）
估计是一个三维图（？）

13thLOU

乌木 发表于 2014-8-26 06:48
正在核对你的更新图。核对工作蛮慢的。先问一下：

10和14应该是对的
那个表第5行应该是11 2 10, 打错了....

核对时可以直接参考那个表来打乱

还是把手写版放出来吧，怕录入时候打错....