与魔方有关的问题

Cielo

<P>一个三阶魔方，如果只允许转动U面和R面，问一共能产生多少种不同的角块位置的状态（就是说不考虑角块色向，只考虑位置，有多少种不同的状态）？</P>
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<P>摘自《Handbook of CUBIK MATH》（作者A.H.Frey, D.Singmaster）习题7.5-1</P>

Cielo

<P>这题我也不会做，但根据书最后附的答案，120是正确的！</P>
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<P>但感觉4楼的理由还不够充分啊！就是说如何证明：当两个蓝角块位是我们已经取定的两块时，余下的4个角块一共只有4种不同的位置状态。</P>

Cielo

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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-7-18 23:13 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=187267&amp;ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果再加不考虑棱块变化，答案是不是6！＝720 ？如果棱块不许移动，则答案是不是6！/ 2＝360 ？ &nbsp; 问题是，我的考虑中没有用到只转U和R这条件，只考虑了5号角和6号角最后不动等，而中间过程是允许动的，也就是 ...

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<P>原题是不考虑棱块的，但只允许转动U和R确实相当于一个捆绑魔方，所以答案不是720.</P>
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<P>现在这题就变成证明题了，证明答案是120<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> </P>
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<P>那本书后面关于这题的答案很详细，我觉得很巧妙。希望大家能找到自己的证明方法！</P>
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Cielo

<P>呵呵我也再考虑一下棱位置的问题。</P>

Cielo

<P>因为角块只有120种位置，所以不可能出现两角交换，否则角块有6！= 720种位置。</P>
<P>由于棱块交换与角块交换一定同时发生，所以不会出现两棱交换的情况，所以至多有7！/ 2 = 2520种。</P>
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<P>另一方面，只用U、R两个面，可以从7个棱块中任选一个放到ul位，</P>
<P>此时，余下的6个棱块中可任选一个放到uf位，</P>
<P>此时，余下的5个棱块中可任选一个放到ub位，</P>
<P>此时，余下的4个棱块中可任选一个放到ur位，</P>
<P>此时，余下的3个棱块只能进行三循环，</P>
<P>所以至少有7*6*5*4*3=2520种。</P>

Cielo

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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-7-30 15:19 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=197385&amp;ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 类似的如：R' U' R U' R' U2 R U' ；R U R' U R U2 R' U ；R U R U' R U R2 U' ，等。可见，如果说那6个角块不会有两角互换的话，那么还是会转而允许有一个四角轮换，这么一来，棱块就必然随着也有奇数个偶轮换－－实 ...

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<P>确实如此，既然可以有对换出现那么就不用除以2了！</P>

Cielo

<P>回20楼：注意到lgq老师所说的2520是在角位置固定的条件下来考虑的，也就是说对120种不同的角位置状态中的每一种，都有2520种棱位置状态。</P>
<P>而5040是不考虑角位置的。</P>
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<P>回21楼：我也不了解“…………令人无奈的是，剩下可怜的四个‘角块’只能在右边乖乖地原地‘兜圈子’”这句话的原因</P>
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<P>回22楼：变化性质不同的原因，我猜是因为U层与R层虽然各含4个棱块和4个角块，但是两层相交处有2个角块，却只有1个棱块！</P>
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<P>回23、24楼：不知为什么我看得见第一页中ggglgq的java图，但看不见第三页乌木先生的<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/mad.gif" border=0 smilieid="11"> </P>
<P>不过那本书上有证明过程，巧妙地证明了确实只有120种。如果大家需要的话，我可以把答案发上来的<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1"> </P>

Cielo

<P>看到乌木先生26楼的图了</P>
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<P>我一开始也是这样想的，但没有证明出来<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10"> </P>

Cielo

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原帖由 <I>wxl5188</I> 于 2008-8-1 10:25 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=198881&amp;ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 太难了,但我知道大学时候教我概率的老师肯定能算明白.他实在太牛了!

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<P><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1">&nbsp;是啊，这本来就只是一个数学题而已：</P>
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<P>六个数排成这样236</P>
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<P>左边的23可以顺时针转，右边的36也可以顺时针转，就可以得到126、243之类的排列。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 14&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 45&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 435&nbsp;&nbsp;&nbsp; 156</P>
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<P>问一共能得到多少种不同的排列？</P>

[ 本帖最后由 Cielo 于 2008-8-1 10:51 编辑 ]

Cielo

原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-20 14:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=218718&amp;ptid=12859" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 现在我们来应用这个方法解决乌木提出的问题：LU魔方角块的自由度问题。<BR><BR>LU只不过是两个四轮换而已。但是它们有两个相连的交点。在交点处L和U的转动方向是相反的。所以我们可以据此进行编号L=[1234]，U=[3564]。<BR><BR>第一个节点的固定永远不是问题。因此我们只要关心如何将节点移动到2这个位置。我们能不能找到一个保持1不变的公式，能把3456中的某一个移动到2呢？让我们祭出法宝——相似变换来解决这个问题。因为我们想保持L不变，因此希望寻求U的相似变换。其中最简单的候选也许是(L)(U)(L')了。我们看看它的循环式：
<BLOCKQUOTE>[1234][3564][1432]</BLOCKQUOTE>化简后得到[2563]。成功了！356等位置现在可以都到达位置2了，而1保持不动。还有一个4无法达到。根据相似变换原理，U能把4变走，所以我们再来看看
<BLOCKQUOTE>(U)(L)(U)(L')(U')=[3564][1234][3564][1432][3465]</BLOCKQUOTE>
<P>这个循环式很长，不过化简后就是[2354]。这样2就可以到达位置4了。 ...

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>也许<EM>earthengine</EM> 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。</P>