请教魔方随机组装复原的问题

乌木

此外，“对面色”不能同时出现在一个块上。还有，程序会判断所给出的初始态是“合法”还是“非法”态，若是非法态，就告诉您“无法复原”。如何判断，请见理论区有关文章。一般，只要您的魔方没有错装过，它的任何一态都是合法态。所输入的某一混乱态只要是经过实际一步步转出来的，都能有解。

乌木

对！错装态会转化（或叫转移）的，“复原”到最后就“水落石出”，纠正起来也简单了。

乌木

应该是的。

乌木

我这样想：2阶错装后，复原到最后会出现单单要求把一个块就地翻转＋120°或－120°的非法状态；若不是这两种态，都是可复原的，即没错装。随机组装后，转来转去，最后可能得到：1、复原态，或2、要单翻一块＋120°，或3、要单翻一块－120°，共三种，每一种在随机组装后的出现概率一样，都是1/3，故二阶随机组装后能够还原的概率是1/3。

[此贴子已经被作者于2007-3-6 21:22:51编辑过]

乌木

楼主问：“如果在装魔方的时候随机装（即不按六面的颜色装好），那么使魔方六面还原的几率有多大？”

5楼冬兄说：“这还真不是一个单简的问题,涉及魔方转动状态数计算,及组装状态数计算,每种组装状态的可能性都是一样的,下面以三阶纯色魔方为例说明,仅供参考:
转动状态数= 4.3252*10¹⁹
组装错误数=11
组装状态数=转动状态数*(组装错误数+1)= 4.3252*10¹⁹ *12
六面还原的几率=1/组装状态数=1/ (4.3252*10¹⁹ *12)”

也就是说，六面还原的几率＝1.927×10^-21，几率只有五万亿亿分之一，怎么会这么小？好像组装状态数 12×4.3252×10^19之中有 4.3252×10^19个状态还是可复原的嘛。或许冬兄有笔误吧？

乌木

噢，对不起，我又误解了。冬兄一定是说12×4.3252×10^19个状态中只有一个是处于六面复原态的，那比例值当然是极小极小的，没错！

我的脑筋老是不会急转弯。

不过，好像这个1/（12×4.3252×10^19）值不叫几率，对吗？我老是把“几率”理解为还未发生的事物有多少可能性会发生，是某种“预报”；而这里的1/（12×4.3252×10^19）最多算是“预报”了随机组装的话，正好装出六面复原的几率（这与楼主的问题不一样吧？当然，楼主的问题有二义性），不包括（4.3252×10^19－1）个可复原态中的任何一个。对吗？

[此贴子已经被作者于2007-3-6 23:36:36编辑过]

乌木

楼上我的话仍有一点点小问题。
再想想，随机组装三阶纯色魔方的角块和棱块时，要问出现某一指定状态（即在1/12的可复原态或已复原态和11/12的不可复原态之中指定某一态）的概率a为多大，不仅仅六面正好复原这一态为a＝1/（12×4.3252×10^19），M＝12×4.3252×10^19个态中的任一态个个都如此，绝对平等。也就是说，“指哪打哪”的概率一律都是这个极小极小的a。对不对？这类概率问题蛮搅人的。

乌木

如果楼主问的是三阶纯色魔方的棱、角块随机组装后能够复原的概率，那就大得多得多－－1/12 。原因从以上的讨论中可以看出。也可以如下考虑：

以6个中心块构架为坐标基准，先看这样随机组装棱角块的状态总数 M：8个角块放入8个位置的可能放置法种数为 8！；12个棱块的可能放置法种数为  12！；每个角块有3种取向，这使状态总数要乘以3^8倍；每个棱块有两种取向，状态总数还要乘以2^12倍。所以
         M＝8！×12！× 3^8 × 2^12（约为 5.2×10^20 ）。

这5.2×10^20个状态中有N个属于正确魔方能够转出的状态（其中1个为“复原态”，N-1个为转出态，这里一起作为可转出态也罢），反过来，N 就是与楼主问题有关的、可复原态的总数。下面来看看N的值。

用转动魔方的办法布排棱、角块时，如果8个角块“先入为主”地转出“角位置布排种数”为 8！ ，那么，由于受到魔方结构所致的魔方规律的限制，12个棱块只能转出“棱位置布排种数”为 12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×1×1＝12！/2 。其中第11个棱块面对两个空位不能任取了，只能视角块位置情况和头10个棱块位置情况，而仅有一种选择，故倒数第2个因子为“×1”。

如果12个棱“先入为主”，转出12！个“棱位置布排种数”，那么8个角只能转出“角位置布排种数”为8×7×6×5×4×3×1×1＝8！/2 。其中第7个角块在两个空位中只能视棱位置的情况和头6个角块的位置情况，而仅有一种可能，故第倒2个因子为“×1”。

两种说法指一件事－－用转动魔方的办法布排棱、角块时，就位置而言的状态数为（8！×12！）/2 。

下面再看棱块、角块颜色取向的影响。由于受到魔方结构所致的魔方规律的限制，前7个角块就地转向可能性都是3，第8个角的取向可能性要视前面7个角取向情况而仅有一种选择余地。所以，由角块颜色方向引起的状态变化数为（3^7）×1＝（3^8）/3。

同样，最后一个棱块的取向选择只有1种，由棱块颜色方向引起的状态变化数为（2^11）×1＝（2^12）/2。所以，N＝（（8！×12！）/2  ）×（（3^8）/3  ）×（2^12）/2 ＝（8！×12！× 3^8 × 2^12）/（2×3×2）＝M/12（约为4.3×10^19） 。

所以，N＝M / 12 。

啰嗦结束。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-1-23 11:38 编辑 ]

乌木

保持角块、棱块框架的当时状态不变之下，让六个中心块保持相对位置关系不变的条件下，相对于角块、棱块框架变化，用你说的扣下中心块盖子重装的方法的话，可以有24种装法。但是，中心块组相对于角块、棱块框架有过偶数次90° 旋转的话，是可复原态；有过奇数次90°旋转的话，就得到不可复原态。
所以，可复原的概率为0.5。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-11 11:12 编辑 ]

乌木

就是，魔方的内在规律很有趣，我是说不清楚。只能应用人家的结论，收集了一些魔方的不可能态－－万一出现，只能说明魔方被错装过。请看：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3744&extra=page%3D14

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-11 11:14 编辑 ]