求证：三阶任意一次90度转动改变簇奇偶性

pengw

这个题目是魔方理论的一个基石，若被证伪，我只有亡命天涯了，哈哈哈

乌木

<P>1楼说：“命题：在任意状态下，三阶任意一次90度转动一定改变簇奇偶性，请证明。”1、此处的“簇奇偶性”是否指“簇状态的奇偶性”，“簇奇偶性”只是通俗说法？2、此处的奇偶性是否就是扰动态非扰动态？如果就是的，奇性对应于扰动态还是非扰动态？</P>
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乌木

<P>我也不等12楼问题的答复了，就当奇偶性就是扰动非扰动态。</P>
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<P>三阶每转任一表层90°，发生一个棱块四轮换，一个角块四轮换。这种变化分别可以在簇内化解为一个二置换。</P>
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<P>如果初态为扰动态，即棱块、角块分别只能在簇内化解为一个二置换（初态不真做这种“化解”的话，下面的论述也成立。此外，真化解的话，不影响扰动非扰动态的、原有的奇轮换环是否一起化解无所谓），接下来做一下任一表层转90°，据上述“化解”说，就是在棱块簇中增加一个二置换，结果是，要么棱块位置复初，要么棱块（与初态比）有两个二置换，还可能棱块（与初态比）有一个三轮换（原有的奇轮换环若还在，不去管它们），都属非扰动态。对于角块簇，同样如此。</P>
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<P>如果初态为非扰动态，棱块、角块都可“化解”为（或真化解，或等价于）位置复初态，接下来转一下任一表层90°，棱块、角块簇都增加一个四轮换，都变成扰动态。</P>
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<P>所以，扰动态的复原步数一定是奇数，非扰动态的复原步数一定是偶数。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-5 10:41 编辑 ]

pengw

<P>奇态簇对应以前的扰动簇(扰动) </P>
<P>偶态簇对应以前的基态簇(非扰动) </P>
<P>簇要么是奇态簇要么是偶态簇,称为簇的奇偶性 </P>
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<P>这样改是为了方便描述,以后的的更新中,很多称呼将要改变,也会有很多新的称呼,一切都是为了表达准确为方便,确实,我现在才感觉到旧版N阶定律太过浓缩,对于仅玩过三阶的魔方来说,无异于天书.</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-4 15:33 编辑 ]

乌木

噢，知道了。

pengw

<P>为了简化问题,只看一个簇,或者只看2阶,不错,一次偶元置换在二阶基态上可以生成一个四元环,用三元置换无法分解完这个四玩环,二阶当前是奇态簇,但是,当二阶是一个任何状态,如有二个二元环,一个三元环,一次四元置换可能就是须要从这些环中取块,环重组以后,二阶一定是奇态簇?也就是说,任意偶元置换在任意状态的二阶执行一次,一定改变簇的奇偶性?这个问题须要一般性证明,如果被证伪,后果是极其悲惨的.</P>
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<P>类似的命题还有,三元置换作用任意状态二阶一次,一定不改变簇的奇偶性?这个命题跟上一个同等重要,如果也被证伪了,那么N阶定律也就什么也不是了.</P>
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<P>那天有一个小朋友,批我出这些题是对自已的理论没有信心,是这样吗?哈哈哈</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-4 15:51 编辑 ]

乌木

我是把二阶看作三阶的棱块坍缩了，但阴魂不散，冥冥之中还是起着作用。所以看起来二阶会出现单单角块有一个二置换，处理起来和三阶一样－－让有关的、坍缩了的“棱块”伴随二阶的角块一起作位置复原就是了。

pengw

新版中将有簇变换这一概念,所以不用去考虑其它簇,单纯从二阶来分析就行了,二阶如何有偶数个偶元环就是偶态簇,有奇数个偶元环就是奇态簇.

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-4 17:25 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>pengw</i> 于 2008-9-4 15:42 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=231483&amp;ptid=13343" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
为了简化问题,只看一个簇,或者只看2阶,不错,一次偶元置换在二阶基态上可以生成一个四元环,用三元置换无法分解完这个四玩环,二阶当前是奇态簇,但是,当二阶是一个任何状态,如有二个二元环,一个三元环,一次四元置换可能 ...

<br>所谓“偶元环”其实是由奇数个“对换”叠合而成。而任何"对换"改变奇偶状态基本上就是定义。所以每个“偶元环”比如4元、6元、8元等等，毫无例外，每个都会改变奇偶状态。<br><br>举例: [123456]是一个6元环，它等于[12][13][14][15][16]，或者5个对换。容易看出，任何环都有类似的等式，但当环有偶元时就是奇数个对换，有奇数元则有偶数个对换。<br>

乌木

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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-9-4 17:25 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=231619&amp;ptid=13343" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 所谓“偶元环”其实是由奇数个“对换”叠合而成。而任何"对换"改变奇偶状态基本上就是定义。所以每个“偶元环”比如4元、6元、8元等等，毫无例外，每个都会改变奇偶状态。举例: [123456]是一个6元环，它等于[12][13] ...

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<P>你这是提到理论上而言的吧？具体在三阶魔方上好像无法单单互换两个块的嘛！除非另一簇也有一个偶置换。三阶魔方上最简单的位置变化是一个三置换吧？所以，除了你说的基本的二置换以外，三阶魔方上同时还有什么东西在制约位置变化。是什么东西？我说不上来。</P>