石头剪子布概率题(大家探讨一下)

lulijie

计算第三题：
     计算到前82项的和为  0.342494244057092。其实从前17项和开始就是这个值。
以下是前n项的和：              （错误找到，以下对了）
.341563786008231，.342376670223035，.342487061906527，.342492843738061，.342493974611283，
.342494191472454，.342494233660186，.34249424200778，.342494243685111，.342494244026656，
.342494244050103，.342494244055559，.342494244056759，.34249424405702，.342494244057077，
.342494244057089，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，
-----------------
所以第三题的概率为  0.342494244057092。

lulijie

一般情况，甲赢的概率为P，甲赢了前进X米，乙赢了前进1米，
那么乙超过甲的概率：
若甲赢了n次，那么乙必须赢YiWinNum(n)= clng(n*X)+1 ，                     clng() 表示取整函数。
那么这种情况的概率可表示为A(n)=  K(n) * p^n * (1-P) ^ ( clng(n*X)+1)， K(n) 表示 甲赢n次且乙赢  clng(n*X)+1 次的情况总数。

  设WeiNum = YiWinNum(n) - YiWinNum(n - 1) + 1
那么以下递推公式可求出K(n)的值
  K(0) = 1
  K(1) = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  K(n) = Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum, n)                  Combination(,)表示求组合数。
  For i = 0 To n - 2
       K(n) = K(n) - K(i) * Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum - YiWinNum(i) - i, n - i)
  Next i                                                                       （n>=2）
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
求出了K(n)的通项，就可求A(n)的通项的和S(n)。
概率就等于S(n)当n趋向无穷的的极限。

Cielo

我凑出来的结果不对 ，还是把想法写在下面吧：

将第一题变化一个形式：数轴上有一个点，各有1/2的概率向右走2 单位长度或者向左走 1 单位长度。
设从 n 出发能到 -1 的概率是a(n)，有 a(-1) = 1，a(∞) = 0
且满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
我们的目标是求 a(0)

递推式 a(n+1)= 2 a(n) - a(n-2) 的特征方程是 x^3 - 2x^2 + 1 = 0
解得 x = 1 或(1±√5)/2，记 α =(1+√5)/2，β =(1-√5)/2
用待定系数法设 a(n) = i α^n + j β^n + k，这里 i、j、k 待定

令 n = ∞得 i =  k = 0，又令 n = -1，得 j = β
于是 a(0) = j =(1-√5)/2 = -0.618……

但是结果显然只能是正的 ，估计是通项设得有点问题吧，希望大家帮我指出错误！

lulijie

满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

lulijie

33楼的解答非常对头，纠正那个错误后，就可得出
a(n)=(√5-1)/2  * [ (-1+√5)/2]…^n
a(0)=(√5-1)/2.
第二题也可这样做出。但第3题遇到无理数，就不能这么做了，有什么其他巧招么？

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第二题让电脑模拟计算的概率为               0.366025403784439
而用概率递推方法算出的概率为(√3-1)/2=0.3660254037844386467      
     答案一模一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-1 00:23 编辑 ]

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-1-31 23:48 发表
满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

呵呵确实是这样，我也刚发现，正准备来改的，发现你已经指出来了

第三题貌似不能用这个方法了，晕啊……

狒狒

这个些东西太费脑力了吧，还是留给数学家吧  呵呵

阿亓儿

啊 概率呀 好 我来看看 呵呵

绿雨

囧……楼上怎么算的？？

喝着牛奶数星星

正在思考当中。。。。。