石头剪子布概率题(大家探讨一下)

R'cube

相信石头剪子布大家小时候一定都玩过，例如：甲和乙进行该游戏，谁赢谁就往前走几步!
先从简单的开始吧，那么题目是这样的：

1.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，他们各自赢得对方的概率都是1/2，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

2.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

3.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走π米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?(曾经在百度数学吧看到的这第三题)

关于题目的解释，所谓首次是这个意思：比如乙从一开始就赢了甲，乙超过甲1米，游戏结束；又比如甲一开始赢了乙，那么乙需要连续赢得甲3次来超过甲；如果甲连续赢得乙2次，那么乙需要连续赢5次来超过甲。。。。到这里大家可能就发现了，这道题的概率是无穷项可能的情况叠加所得的和。。

正如大家所想的那样。。。这就是这道题最难的地方，鉴于第1题中他们各自取得胜利的概率是相同的，在中间比赛的时候，可以不考虑中间过程的排列组合问题。这是什么意思呢，我们拿甲赢得乙两次，乙赢得甲5次的情况来分析，为了保证这个情况的实现，可以有以下几种组合的情况：

①甲先赢乙一次，接着乙赢得甲一次，甲再赢乙一次，最后乙通过连续4次取胜来超过甲；
②甲直接先赢两次，则乙通过连续赢甲5次来超过甲
对于概率为1/2的时候，其实我们只要考虑总的情况就可以，永远是(1/2)^7，但是对于第二题而言，由于各自获胜概率不同，还要考虑到①②两种排列组合的概率。。。这就大大增加了难度

至于第三题，甲走的距离都出现了无理数π。。。那么可想而知乙要超过甲不再是简单的距离叠加来算了

第一题其实是很简单的。。2，3题非常有难度。。。大家可以互相探讨一下~~~~(打字累哦 )

R'cube

沙发么。。。也顺便拿下了~~~~~~

R'cube

貌似已经有人在思考了
呵呵。。。第一题应该还是蛮简单的。。后两题麻烦

R'cube

不是这个意思哦。。。第一次就赢甲只是所有情况里面的一种这是0.5的概率。。最后要加进去的

R'cube

第一题的话还是很简单的
甲1   乙3
  2     5
  3     7
。。。。
  n     2n+1


P=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4+(0.5)^7+(0.5)^10+...+(0.5)^(2n+2)]
=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4*[1-(0.5)^3n]*[1-(0.5)^3]]

[ 本帖最后由 R'cube 于 2009-1-29 19:41 编辑 ]

R'cube

这个肯定没有关系啊~~~~

R'cube

对的对的。。。。我没把那个算进去。。。那个也是要分情况的。。。。
多谢指出错误~~~

R'cube

恩。。。。和黄金分割非常接近哦。。。。支持了~~~~

R'cube

LS花了不少功夫吧。。。。非常好的解答~~~~