首位数为1的自然数的概率。

邱志红

我们现在正在学习概率，我在一本书上看到了这个问题，感觉有争论价值。就贴出来

问题：首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少？

问题不简单哦，请冷静思考，再作回答。

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邱志红

不错，其实给一个确切的定值是不可能的。

但可以通过合理的平均得到一个统计值。

你可以用同样的方法计算一下，首位数为2的，为3……为9的自然数。

你就会发现其实它们出现的概率是不一样的，首1的可能性最大，首9的可能性最小。并不是大家第一感觉中的都占1/9。

其实这才我真正想说明的。

乌木先生的分析方法是相当正确，相当理性的。

邱志红

现在来揭底了，下面就是该问题出现的历史缘由。

天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以１为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是１的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。

邱志红

下面就是该问题的分析过程及研究结果。

大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除０以外，共有九个数字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为１的自然数应该占全体自然数的１／９。可是，事实并不这么简单。１９７４年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是１的自然数约占全体自然数的１／３。准确一点说，这个数值应该是ｌｇ２约为０．３０１０３。这是怎么一回事呢？

　　事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是１的自然数的分布规律是；

　　Ｉ到９之间，这样的数只有１个，它就是１，所以占１／９；

　　Ｉ到２０之间，这样的数有１１个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２，

　　１到３０之间，这样的数同样有１１个，约占１／３，

　　１到１００之间．这样的数仍然只有］１个，约占１／９，

　　ｌ到２００之间，这样的数有１１１个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。

　　注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。．

邱志红

该问题的实际意义呢？

迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 18:21:08编辑过]