比较麻烦的几何题

lulijie

其实题目就是求    在    以O为圆心，以OO1为半径（=R-r），的圆上  任选4点，组成的图形的最大面积。
题目也就等价于       求一个圆上任选4点，组成的图形的最大面积。（该圆的半径等于R-r）。

lulijie

圆上任选4点，当其构成两个相互垂直的圆的直径时，面积最大，所以最大面积等于2*（R-r）^2。

lulijie

5楼的思路1：
S=1/2*(R-r)^2*(sin角1+sin角2+sin角3+sin角4)
恰好sin角1、sin角2、sin角3、sin角4，都取最大值1时，S最大，即每个角都等于90度。
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这个思路对于圆上4个点，可行。
但若是3个点、5个点，或一般情况的n个点，
那么这种思路就是求，n个角的正弦的和的最大值，这n个角的和等于360度。
答案就没有那么显而易见了。
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题目：求圆上n个点，组成的图形的最大面积S。     
判断：当且仅当n个点组成正n边形时，面积最大。
我觉得这样思考比较好。

假设圆上的n个点组成的面积已经是最大了，那么对于其中任何一点，比如A，与它相邻的两点是B、B‘，那么，A点必在BB’的垂直平分线上。
          因为如果A点不在BB’的垂直平分线上，那么作BB’的垂直平分线，与圆的交点为A‘，因为面积BA’B‘比BAB’大，
          所以    用A‘代替A，组成的新的图形面积必比原先的大，与题意矛盾。
同理，其他各点也必在其相连的两点组成的线段的垂直平分线上。
只有当这n个点组成正n边形时，才满足上述的条件。
所以上述判断成立。