红魔
两种方法:
一种方法是“凑”。
85^2=7225,它的一半是3612.5,所以只要检验短直角边为1~60的情况。(60种可能)
进一步,只要检验长直角边为61~84的情况。(22种可能;如果手边没有平方表,而且又背不出的话,计算量稍微大些。)
“主要是考虑个位数字平方和为5”,好像没什么用。
同样推荐用EXCEL表格,我想大家一拉,结果就出来了。
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再给一个比较正规的方法:
大家知道“本原勾股数”的概念吗?
“勾股数”指能构成直角三角形的三正整数组;“本原勾股数”要求其两两互质。
“本原勾股数”有公式(一定能表达成以下形式):
a=(m^2)-(n^2)
b=2mn
c=(m^2)+(n^2)
其中,m>n,m和n互质。
85=5×17
(1)以5为“本原勾股数”的斜边。
5表达成2个(互质)正整数的平方和,只有一种可能:5=(2^2)+(1^2)。
得到的“本原勾股数”为(3,4,5)。
对应于本题的解为(51,68,85)。
(2)以17为“本原勾股数”的斜边。
17表达成2个(互质)正整数的平方和,只有一种可能:5=(4^2)+(1^2)。
得到的“本原勾股数”为(15,8,17)。
对应于本题的解为(75,40,85)。
(3)以85为“本原勾股数”的斜边。
85表达成2个(互质)正整数的平方和,有2种可能:85=(9^2)+(2^2)=(6^2)+(7^2)。
得到的“本原勾股数”分别为(77,36,85)和(13,84,85),就是本题的解。
再说一个公式:
[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac+bd)^2]+[(ad-bc)^2]
就是说:两个整数平方和的积也能表示成两个整数的平方和!
当然,也有:
[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac-bd)^2]+[(ad+bc)^2]
所以,大部分情况下,两个整数平方和的积能以2种形式表示成两个整数的平方和。
这样,就能通过5和17表示成整数平方和的形式,马上计算出85的2种整数平方和的表达方式!
甚至于,本题直接这样做就可以,认为85^2=5×5×17×17,是4个整数平方和的乘积!
(只不过,直接做,不容易对所有解好好把握,或者漏算,或者重复算。)
三十多年前我和老师都是用的8楼的方法。
设:a=N[(m^2)-(n^2)]
b=N(2mn)
c=N[(m^2)+(n^2)]=85
当N分别为1、5、17时,解不定方程,得到全部解。
“解不定方程”,其实就在“凑”满足c的m、n的数字。
说的简单,实际中间还是有许多技巧的!(我在9楼写的)
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GMT+8, 2024-5-15 10:25
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