直角三角形

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两种方法：

一种方法是“凑”。

85^2=7225，它的一半是3612.5，所以只要检验短直角边为1～60的情况。（60种可能）

进一步，只要检验长直角边为61～84的情况。（22种可能；如果手边没有平方表，而且又背不出的话，计算量稍微大些。）

“主要是考虑个位数字平方和为5”，好像没什么用。

同样推荐用EXCEL表格，我想大家一拉，结果就出来了。

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再给一个比较正规的方法：

大家知道“本原勾股数”的概念吗？

“勾股数”指能构成直角三角形的三正整数组；“本原勾股数”要求其两两互质。

“本原勾股数”有公式（一定能表达成以下形式）：

a=(m^2)-(n^2)

b=2mn

c=(m^2)+(n^2)

其中，m>n，m和n互质。

85=5×17

（1）以5为“本原勾股数”的斜边。

5表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(2^2)+(1^2)。

得到的“本原勾股数”为（3，4，5）。

对应于本题的解为（51，68，85）。

（2）以17为“本原勾股数”的斜边。

17表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(4^2)+(1^2)。

得到的“本原勾股数”为（15，8，17）。

对应于本题的解为（75，40，85）。

（3）以85为“本原勾股数”的斜边。

85表达成2个（互质）正整数的平方和，有2种可能：85=(9^2)+(2^2)=(6^2)+(7^2)。

得到的“本原勾股数”分别为（77，36，85）和（13，84，85），就是本题的解。

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再说一个公式：

[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac+bd)^2]+[(ad-bc)^2]

就是说：两个整数平方和的积也能表示成两个整数的平方和！

当然，也有：

[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac-bd)^2]+[(ad+bc)^2]

所以，大部分情况下，两个整数平方和的积能以2种形式表示成两个整数的平方和。

这样，就能通过5和17表示成整数平方和的形式，马上计算出85的2种整数平方和的表达方式！

甚至于，本题直接这样做就可以，认为85^2=5×5×17×17，是4个整数平方和的乘积！

（只不过，直接做，不容易对所有解好好把握，或者漏算，或者重复算。）

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以下是引用yzsjw0在2006-6-7 22:55:50的发言：

三十多年前我和老师都是用的8楼的方法。

设：a=N［(m^2)-(n^2)］

b=N(2mn)

c=N［(m^2)+(n^2)］=85

当N分别为1、5、17时，解不定方程，得到全部解。

“解不定方程”，其实就在“凑”满足c的m、n的数字。

说的简单，实际中间还是有许多技巧的！（我在9楼写的）