调和级数一定不是整数

yang_bigarm

第一次听到这个问题是在我一个同学参加研究生免试保送的时候。他的导师是一个刚从美国回来的的
一个很年轻的教授，他导师说我不看你的考试成绩，因为既然是系里面推荐，成绩单自然不会差啦。
我就出一个问题，不需要你当场就回答，给你一天的时间，你自己回去思考或者到图书馆查书，反正
明天的这个时候我在同样的地方等你，告诉我你的答案。
很有点那种武侠小说上某个人去学武艺，师傅考验他的那种感觉啊！到了最后，虽然他没有给出答案但是
迫于学校的某些规定，那个老师还是要了他了。

---------------------------------probelm----------------------------------------
调和级数定义如下
                1    1    1    1           1
s(n) = 1 + -  + -  + - + - + .... + -
                2    3    4    5           n
如果 n>1 的时候，证明它一定不可能是一个整数。
----------------------------------end-------------------------------------------

我们知道调和级数的增长速度是和对数函数差不多的，那么就是说他会增长到无穷大，但是
增长的又十分缓慢，难道他真的不会等于任何一个整数吗？

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-3-31 01:08 发表
楼主的题目都很有难度，做楼主的题头发都要掉很多，脑细胞都要死好多。你的题都是哪里出来的？

平时喜欢积累一些这样的问题。

yang_bigarm

原帖由 乌木 于 2009-3-30 23:22 发表
1楼说了在n趋于无穷大时s(n)趋于无穷大，也就是说s(n)不存在（意思指不是一个确定的数），也就谈不上它是整数不整数的了。问题是，n为n>1的有限的值时，此时的s(n)是该级数的部分和，题目应该是问这样的部分和为什么 ...

当然是问前n项的和啦，我在1/n后面没有写省略号啊。

yang_bigarm

原帖由 乌木 于 2009-3-31 23:26 发表
那么，1楼的倒数第二行说“……那么就是说他会增长到无穷大……”，读者别像我一样误解为式子有省略号。这句话其实是脱开那式子说的；或者，不脱开那式子的话，是指那式子的n趋于无限大时，“那么就是说他会增长到无 ...

多谈一些相关的背景知识嘛，我为了不引起误会，两条线之间的才是问题，其他的可以算作是乱弹的。

yang_bigarm

原帖由 金眼睛 于 2009-3-31 21:51 发表
原题等价于证明在n中最大的质数要大于n/2，换句话说也就是n及2*n之间必有一个质数（n大于2）。

你提的这个问题太大了，“n及2*n之间必有一个质数（n大于2）”这个量级的问题可以做一篇博士论文了，
这个不是我说的，是伟大的Erdos的导师对他说的。

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-4-1 16:28 发表
楼主，原题是怎么证明的，我觉得我前面的用数学归纳法来证明也非常简单啊。
通分以后分子是奇数，分母是偶数，当然不可能是整数。

觉得归纳法对分母从2^k跳变2^(k+1)的时候说得不是很清楚

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-4-1 20:43 发表
我来完整的用数学归纳法来证明，其实我在前面的思路中已经提到了证明。
证明：若n值满足  2^k

OK，这个证明就很完整了