发一个最难的问题

yang_bigarm

鉴于本版高人挺多，我以前发的每一个问题都被人在2天以内攻克，此次特发一个有史以来最难的问题，
如果这个问题你以前见过，那就别吭声；如果没有见过而你又能把它攻克，那我以后也没什么
问题值得出的了。

----------------------------------------problem-------------------------------------------------
对于正整数a,b，如果
        a^2 + b^2
c= ----------------也是整数的话，那么证明，c是一个完全平方数。
        1 + a * b

------------------------------------------END----------------------------------------------------

例如
a=1, b=1, c=1
a=2, b=8, c=4
a=3, b=27, c=9
a=8, b=30, c=4
a=4, b=64, c=16
a=30, b=112, c=4
a=5, b=125, c=25

superacid

经典的无穷递降法

Atato

金眼睛厉害哈！

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-4-4 23:39 发表


这个题目无聊吗？你知道这个题目的背景吗？严格说来，它不是数论的题目。

说一下这个题目的背景，在IMO（国际数学奥林匹克）50年的历史中，没有一个问题考倒过选手，
却有一个问题考倒了老师。按照惯例，一个 ...

呵呵确实记得看到过这题，原来这么难啊！不过怎么做的我肯定不记得了，估计当时没仔细看证明

yang_bigarm

原帖由 mo方。 于 2009-4-3 21:10 发表
无聊锕你。！

这个题目无聊吗？你知道这个题目的背景吗？严格说来，它不是数论的题目。

说一下这个题目的背景，在IMO（国际数学奥林匹克）50年的历史中，没有一个问题考倒过选手，
却有一个问题考倒了老师。按照惯例，一个题目拿出来，要各国的教练领队都做一遍，评选一下
看这个题目是否适合作为比赛题目。结果，天啊，当时没有一个教练能做出来，那可都是各国数学系
的顶尖高手啊。然而令人惊奇的是，却有几个选手能解出来，不可思议啊。

后来中国队的教练把这个问题带了回来，在一次会议上给与会的专家们做，据说当场的亲年数学家们
都束手无策，只有万哲先院士做出来了，由此可见这个问题的难度。
了。

lulijie

我的想法：
c=(a^2+b^2)/(1+ab)
a^2+b^2=c+a*b*c
b^2-a*c*b+a^2-c＝0
对于一元二次方程  X^2-a*c*X+a^2-c＝0
  b是它的一个根，设另一个根为x，那么
    x*b＝a^2-c
    x+b=a*c
1： a^2-c<0 ，可证明不可能。
    因为b>0,所以x<0，所以b>a*c.
    又因为  b=1/2*a*c+1/2*sqrt(a^2*c^2-4*a^2+4*c)
    其中 a^2*c^2-4*a^2+4*c=(a*c+2)^2-4*a*c-4-4*a^2+4*c=(a*c+2)^2-4*c*(a-1)-4-4*a^2<(a*c+2)^2
    所以b<1/2*a*c+1/2*(a*c+2)=a*c+1.
    因为b是整数，且 a*c<b<a*c+1，所以推出矛盾，原假设不成立。
2：同理b^2-c<0 ，可证明不可能。
3：a^2-c=0  ，那么c=a^2，显然是完全平方数。   可推出 a=k  ， b=k^3  ，c=k^2。
4 ：b^2-c=0  ，那么c=b^2，显然是完全平方数。   可推出 b=k  ， a=k^3  ，c=k^2。   
5： a^2-c>0 且 b^2-c >0  
    若假设a>b,那么应该推出      b=k^3  ，a=k(k^4-1)，c=k^2
  但如何推导呢，大家想想有什么办法？
-----------------------------------
     a=30 ，b=112 ， c=4  应该也属于第5种情况。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-4-4 21:51 编辑 ]

Cielo

原帖由 金眼睛 于 2009-4-4 11:40 发表
若a=b，a>1时1<c<2，故a=1，则b=1， c=1。

若a不等于b，设m为ab中较大的一个，n为ab中较小的一个。
对原式进行整理得：m^2+n*c*m+n^2-c=0
方程的解用m，n表示为：m1=m；m2=(n^3-m)/(1+m*n)。

rrdw：上面说的方程是哪一个啊？

金眼睛

若a=b，a>1时1<c<2，故a=1，则b=1， c=1。


若a不等于b，设m为ab中较大的一个，n为ab中较小的一个。
对原式进行整理得：m^2+n*c*m+n^2-c=0
方程的解用m，n表示为：m1=m；m2=(n^3-m)/(1+m*n)。


所以看LZ给出的例子，n^3等于m时，m2=0，带到原式c=n^2，自然满足。


因为m，n，c均为正整数，m1+m2=n*c也是正整数，m2也是正整数。
m1*m2=n^2-c<n^2，所以m2必小于n。也就是以较小的m2可以推出较大的m1。
初始情况取任意自然数N作为数列的第一项，N^3为数列第二项，递推下去可以形成一个数列，则m，n在数列中相邻位置取值，c不变，为N的平方。


如LZ的例子，2，8，30，112……
那么所有的解都应该在第一个数为1~N形成的这样的数列里，c都是完全平方数。

lulijie

以下都是a、b、c的解：
    a=1 ，b=1 ， c=1
    a=30 ，b=112 ， c=4
    a=k^3 ， b=k*(k^4-1)，c=k^2   （ k>=2）
    a=k ， b=k^3 ，c=k^2               （ k>=2）

lulijie

       m和n是互质的两个整数，k是整数，
          如果  (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数 ，
           那么  m^2+n^2  等于 1+k^2*m*n。
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如果上述论断能证明正确，那么楼主的命题就得到证明。