发一个最难的问题

lulijie

我来谈谈我的思路：
假设 a 和 b  的最大公约数是k，（若互质，那么k=1）。
      那么 a=k*m  ， b=k*n 。
那么原式变成。
     c=k^2 * (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n)  。
若能从 c是整数 证明   (m^2+n^2)  必须等于    (1+k^2*m*n)  ，
那么  c=k^2 ，命题就得证。
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因为  k^2  肯定与   (1+k^2*m*n)  互质 ，所以 C是整数可推出  (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数。
若能从   (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数 ，推导出   (m^2+n^2)  必须等于    (1+k^2*m*n) ，那么命题得证。

lulijie

       m和n是互质的两个整数，k是整数，
          如果  (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数 ，
           那么  m^2+n^2  等于 1+k^2*m*n。
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如果上述论断能证明正确，那么楼主的命题就得到证明。

lulijie

以下都是a、b、c的解：
    a=1 ，b=1 ， c=1
    a=30 ，b=112 ， c=4
    a=k^3 ， b=k*(k^4-1)，c=k^2   （ k>=2）
    a=k ， b=k^3 ，c=k^2               （ k>=2）

lulijie

我的想法：
c=(a^2+b^2)/(1+ab)
a^2+b^2=c+a*b*c
b^2-a*c*b+a^2-c＝0
对于一元二次方程  X^2-a*c*X+a^2-c＝0
  b是它的一个根，设另一个根为x，那么
    x*b＝a^2-c
    x+b=a*c
1： a^2-c<0 ，可证明不可能。
    因为b>0,所以x<0，所以b>a*c.
    又因为  b=1/2*a*c+1/2*sqrt(a^2*c^2-4*a^2+4*c)
    其中 a^2*c^2-4*a^2+4*c=(a*c+2)^2-4*a*c-4-4*a^2+4*c=(a*c+2)^2-4*c*(a-1)-4-4*a^2<(a*c+2)^2
    所以b<1/2*a*c+1/2*(a*c+2)=a*c+1.
    因为b是整数，且 a*c<b<a*c+1，所以推出矛盾，原假设不成立。
2：同理b^2-c<0 ，可证明不可能。
3：a^2-c=0  ，那么c=a^2，显然是完全平方数。   可推出 a=k  ， b=k^3  ，c=k^2。
4 ：b^2-c=0  ，那么c=b^2，显然是完全平方数。   可推出 b=k  ， a=k^3  ，c=k^2。   
5： a^2-c>0 且 b^2-c >0  
    若假设a>b,那么应该推出      b=k^3  ，a=k(k^4-1)，c=k^2
  但如何推导呢，大家想想有什么办法？
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     a=30 ，b=112 ， c=4  应该也属于第5种情况。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-4-4 21:51 编辑 ]