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楼主的宝很多嘛。
我试试用数学归纳法来证明:
先证 m*n m、n都是奇数
1. 3*3 显然存在多米诺牌的完美覆盖
2. 假设m*n 存在多米诺牌的完美覆盖 那么
一。 m*(n+2)棋盘,其中 m*n区域根据假设已经存在多米诺牌的完美覆盖,那么第n+1和n+2横行,我们都数竖着放1x2的长方形,显然能把这两行填满。 所以 m*(n+2)棋盘也存在多米诺牌的完美覆盖。
二。(m+2)*n棋盘 ,同理也存在多米诺牌的完美覆盖。
三。(m+2)*(n+2)棋盘 , 在它们角多出的2*2格子,显然可以用两个1x2的长方形填满。
综合上述3个方面,可推出 任何 m*n ( m、n都是奇数)存在多米诺牌的完美覆盖。
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对于m和n中至少有一个是偶数的情况,照样可以用数学归纳法证明。
1. 1*2 显然存在多米诺牌的完美覆盖.
2. 假设m是偶数,假设m*n 存在多米诺牌的完美覆盖
一。那么对于 m*(n+1) 棋盘, 增加了m*1 的格子,显然能用 m/2 个1x2的长方形填满。
二。(m+2)*n棋盘,道理同 奇数*奇数 。
三。 (m+2)*(n+1)棋盘,增加的角上1*2的格子,显然可以用一个1x2的长方形填满
所以对于m和n中至少有一个是偶数的情况,存在多米诺牌的完美覆盖 |
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