魔方公理

乌木

冬兄说：“角块色向组合的合法与非法的比例是：3^7/(3^8-3^7)＝1/2,即一个正确对二个错误，如何平衡？……”

对此，我这样想，随意组装角块时，才会有一份合法角向态和两份非法角向态出现；而从某一合法的角簇子魔方（位置无扰动，角向和为零）出发，经URF……等等的转动，要求角的位置不变而得到所有的角块的方向态，加上初始态，一共是3^7种，都是合法的。就是说那两份非法的、角向和不等于零的角向态闯不进来的。

“3^7”，这正是魔方的角向组合中受到魔方规律（或说是某种平衡）制约的结果。

“3^8”，是8个角块的取向各自独立地、不受魔方规律支配地组合的结果。

魔方规律对“3^8”不负任何责任。魔方规律能搬出来用于解释“3^7/(3^8-3^7)＝1/2”吗？

[此贴子已经被作者于2006-12-7 15:15:22编辑过]

pengw

乌木兄，你应该是细看了rongduo兄的文章，如果rongduo兄的论文全用转动获得的合法状态，我又何必画蛇添足？正是因为rongduo兄在文章中引入非法状态，我才不得不从这个角度，发表个人看法。rongduo兄用8！和12！，本意难到是全部合法置换状态？即然置换可以引入非法，为什么色向不可以引入非法？理由在哪？理论一定要保持逻辑的一致性，预言的一般性，描述的连惯性，作用对象的自足性。

[此贴子已经被作者于2006-12-7 18:30:34编辑过]

pengw

组合原理中另外二种算法

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其一:

计算出魔方手工组装状态数,除上探索出来的不可复原的类型数+1,求得合法状态数,这是一种低阶有效的朴素方法,看不到理论的存在.

其二:

基于群论的全组合数，奇/偶组合各占一半。这里有几个疑点：

1。）凭什么断定合法组合是8!和12！，群论是如何独立预言这个结论？

2。）奇/偶组合各占一半，凭什么说魔方置换一定会满足这个要求？理由在哪？何为奇？何为偶？

3。）为什么看不到群论与向色和中心块的关系描述？

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事实是，组合原理中的第一和和第三种计算方法，都是在已知正确结果前提下，非常迁强附会组合出来的计算式，其中没有一个算法，是完全仅仅基于魔方已知性质计算出来的结果。虽然引用了群论，但看不出群论在解决状态计算问题方面扮演的必然因果。我认为，在组合原理中，群论没有找到存在的理由，本质上，就是晋通数学排列问题。

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表达这些观点，仅仅是就事论事的“学术之争”，大家平等，找不到被告/原告的位置。

[此贴子已经被作者于2006-12-7 20:43:43编辑过]

pengw

跷跷板原理  对呈现于魔方的每一基本状态，在同一魔方上必然同时呈现出另外一些可以与之相互抵消的状态。

疑问：

1。三阶复原魔方任一面转90度，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？

2。三阶复原魔方任意三个角块独立互换位置，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？

3。二阶复原魔方二个角块独立互换了位置，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？

4。三阶复原魔方一个中心块独立转了180度，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？

5。四阶二个棱块独立互换了位置，那么同时存在的与之抵消的状态是什么？

6. 三阶复原魔方任意二个中心块同时独立顺转或或逆转了90，何来相互抵消？

[此贴子已经被作者于2006-12-8 13:23:47编辑过]

乌木

100楼说：
“乌木兄，你应该是细看了rongduo兄的文章，如果rongduo兄的论文全用转动获得的合法状态，我又何必画蛇添足？正是因为rongduo兄在文章中引入非法状态，我才不得不从这个角度，发表个人看法。rongduo兄用8！和12！，本意难到是全部合法置换状态？即然置换可以引入非法，为什么色向不可以引入非法？理由在哪？理论一定要保持逻辑的一致性，预言的一般性，描述的连惯性，作用对象的自足性。”

我谈不上“细看”的。

我一直以为（不知是否一直错误着？），转动正常魔方时，出来8！种角的位置态是完全可能的，其中一半是扰动态，另一半是非扰动态。当角位置态是扰动态时，棱的位置态也必定是扰动态；当前者是非扰动态时，后者也一定是非扰动态。同时，棱的位置态也完全可以转出12！种，其中一半与相应的一半角位置态组合，另一半与相应的另一半角位置态组合。

所以，不需要另外从什么地方去“进口”非法东西来的。或者说，8!和12！是土生土长、不请自来的。

色向态数3^7和棱向态数2^11就不同，正常魔方转不出3^8个角向态和2^12个棱向态的。

即使故意错装，例如，把好端端的六面复原的魔方，一个角错装为就地旋转120°，同时一个棱错装为就地翻转180°，这样的错角态和错棱态是无法相互帮忙的，所以整个魔方还是无法复原的。这和角棱位置态的扰动－扰动组合得到合法态不同。

我这些概念对不对？趁讨论得理理清楚才好。

[此贴子已经被作者于2006-12-7 21:31:37编辑过]

pengw

75楼说：

“你的扰动概念是一个很好的、极具概括力的东西，在你的理论中占有重要位置。不过在我的系列中不需借重它。我是运用置换（或排列）的奇偶性质，来处理你所说的扰动问题的。“
   

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在全排列式子8!、12！中，何为奇？何为偶？在魔方的表象中如何体现？仅仅是因为群论说（引用rongduo语）n!有一半是奇，一半是偶？这个性质跟魔方如何发生必然关联？魔方是一个构造现实，不是纯数学。请作者说明这当中的必然关联。

大家知道，三阶独立置换基本公式只有三交换公式，凭此如何独立置换出12！和8!   ？

正确的说法是，偶次转动和奇次转动得到的状态互不相同，但彼此的状态数相同，但这是扰动关系的预言。而单纯的置换公式（簇内变换）的步长都是偶数，所以单纯的置换公式最多可以获的一半的状态数，另一半状态需要扰动关系介入而获的。

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遗憾的是，rongduo兄在一个贴中，拒绝了扰动关系，而扰动关系恰恰能证明8！和12！是正确值，那么rongduo兄又是依据什么确信，8！和12！是正确值？我认为，“魔方组合原理”的根基论点存在太多疑点，需要再次谨慎推敲。

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魔方组合原理中的其它内容，可以极大地精减概括成更基本的性质，我认为：

1。色向变换

2。三置换变换

3。扰动变换

以上三个最基本的性质，即可决定魔方一切状态，当然这是我的观点，仅仅且仅仅只是一个建议。

[此贴子已经被作者于2006-12-8 9:29:18编辑过]

rongduo

回复98楼pengw——

一、       关于中心块问题

此问题你反复问过，我也反复答过。现再次重复作答。

我的理论不包括中心块。这种研究是可以允许的，因为，我们可以不管边角块而单独去开解中心块，也可以不管中心块去单独地开解边角块，此其一；其二，事实上存在着不理彩中心块方向的魔方，这就是原始的鲁毕克魔方。(在下文中，如果没有说明，则所说的魔方即指这种原始的鲁毕克魔方)。你对中心块很有研究，但那不是我研究的课题。今后对任何来自中心块角度的质疑，一概不再作答。

在我看来，现在我们看到的形形色色的或许更为复杂的魔方，都是在鲁毕克的启示下而来的，所以其发明者未必比鲁毕克更伟大。有时候，我们即使站在了巨人的肩上，也不一定就比巨人伟大。当今之世，魔方领域中最伟大的人物也许仍然是鲁毕克(如果他还健在的话)。

二、我的理论对于鲁毕克魔方而言是完备的，不存在任何根本性的漏洞。该理论隐含的背景是群论，我的主要贡献在于提出、并不着色相地用群论刻画了跷跷板原理。此外，我的小书逻辑性和可读性都是很强的。

三、我对忍兄的提问艺术实在不敢恭维。在回答了忍兄79楼的提问后，忍兄现在的回帖不是步步深入的反诘，或指出我的回答中的错误，而是突发奇招，提出一系列与前帖几乎完全不衔接的问题，或再次提出以往已经争论过的问题，以示反驳。像这样不断地改换辨论的主题，很显然辩论永远不会结束，更谈不上输赢，直到一方身心疲惫退出辩论。比如多次重复地以中心块问题来问难，而我又被迫多次重复地回答，就是一个很明显的例子。这样的辩论难免流于影子的战斗或唐吉诃德与风车的对决。 (未完，见下一帖)

rongduo

(接上一帖)

四、对忍兄这次所提主要问题，严格说来，几乎都可以在小书中找到答案。但我仍然愿意对其主要部分再回答一次。

问：运用跷跷板原理是否可以预言魔方的一切状态？

答：那是一定的。请读第八章第一至四节。白纸黑字，有假包换!

问：跷跷板原理有何用？

答：仅以小书的内容为例：第一，我用跷跷板原理证明了我在第二章所给的开解法的完备性，也就是说，证明了我的开解法足以开解任何被转乱的鲁毕克魔方，除此以外不需要别的转动。(我不知道忍兄是否整理过你的开解法，如果已整理出来，最好也做出符合逻辑规范的完备性的证明)。

第二，我用跷跷板原理证明了魔方表示定理，此定理把天文数字的错误组装化归为11种、最多涉及三个方块的基本类型。此外，引用这一定理还可以很简单地计算出鲁毕克魔方的组合数。

第三，在跷跷板原理的指导下，我运用组合论方法和公式，不须考虑错误组装数，径直计算出了组装正确的魔方的组合数。这里有必要更具体地指出一点，忍兄和乌兄曾就8个角块的组合数为什么是3^7而反复争论，我建议二位重读一下小书的第八章第一节，，在那里可以清楚地看到在跷跷板原理的约束下，我们怎样计算出了3^7。文字不长，也不艰深，不需要耗费很多的时间和脑力。

还须重复强调的是：如上所说，用跷跷板原理作指导，至少可以给出两种方向不同而又同样正确的魔方组合计算。

对于你98楼以后的帖子，初步的感觉是，你不太习惯公理化的方法，不大适应本书的数学思路。至于群论那一部分，只是一个简介，没有必要深究，不过我相信专业的数学家们极有可能正是用这种方法三下五除二算出了魔方的组合数。对他们来说这个问题太简单了。而一切学习过群论初步知识的人对此都不会感到困惑，所谓置换的奇偶性是群论中非常基本的概念，它差不多好像是为魔方量身定做的。

此外你又问：为什么看不到群论与向色和中心块的关系描述？

这个问题提得有水平。目前，我正在考虑建立一个描述中心块的群论的数学模型，且已经有腹稿。这个模型将与跷跷板原理相互独立：二者之间不能相互推出。此外，注意我在小书的结尾处说：

顺带指出，魔方中方块的扭转和翻转也可以转化为纯粹的群论问题去进行处理，但不能像处理置换这样简洁和直接。

这是因为色向问题不能直接表现为置换群（虽然按照群论中的凯来定理，一切有限群原则上都可以化归为置换群），但完全可以建立一种适合于魔方的组合群（这样的群我已经建立过，只作为自己赏玩）来将色向问题彻底群论化。很显然，这将陷入复杂的群论的游戏，不符合本书屏蔽群论的初衷（见该书前言）。(未完，见下一帖)

[此贴子已经被作者于2006-12-9 8:23:22编辑过]

rongduo

(接上一帖)

五、还有一些介乎于题内或题外的话要说。忍兄大概还记得，我曾经对你PengW3定律作过一些评论，姑且不论这些评论的对错，有一点需要表明：那都是精读深思了你的论文后，就很具体的内容进行评论的。决无空泛、耳食、走马观花之弊。但我感到忍兄在批评时没有这样做。我很怀疑，你是否稍微完整、认真地通读或浏览过<<魔方组合原理>>。我无权强迫别人来读这本书；即使不读这本书，人们也有批评它的自由。但我又感觉你不应该有这种自由，因为，你是版主和魔方大师。也许，这种要求过于苛刻甚至不近人情了吧？

我是一个不好争辩的人，基于上边的一些考虑，加之本人的时间和精力都很有限，本帖也许就成了我在本主题帖内的最后一个回帖。除非，忍兄能够一板一钉地紧扣住我书中的某些很具体的内容，一针见血地直指其误，就像乌木兄已经做过的那样(见47楼 )。诚如此，则感激不尽!

下一阶段我的精力将主要用在对小书的修订上，顺代考虑一些相对简单的魔方问题。 (全帖完)

[此贴子已经被作者于2006-12-8 20:24:32编辑过]

大烟头

忍大师就是这个德性啦，不过习惯了就好，rongduo不要放在心上。

<<魔方组合原理>>一书我没深读过，不过我知道该书主要是研究三阶纯色魔方，忍大师硬要扯进全色魔方来讨论，确实是文不对题。

[em01]