魔方公理

pengw

rongduo兄息恕，当今能遇上几位真心诚意浪费时间研究魔方的朋友实属难得，更何况是魔方理论。小邱仍血气方刚、进取有为、有志于魔方的在校大学生，言语之间锋芒徒显，表达略有激进，我认为跟他年龄有关，未必有什么恶意，我们都有过那个岁月，所以你就大人大量，多多包涵。小邱也要注意，遣词用句多多温惋为盼，哈哈哈。

玩魔方本来就不是一件容易的事，思考魔方理论，就更不容易了，费时/费力/费神，没有收益，只有付出。大家各舒已见，各有所长，各有所短，敢于坚持正确的，也勇于承认被证明是错误的，我一直非常欣赏别人怀疑、挑战、证伪我的“作品”，这常常能够帮助我前进很大一步，如果不是大烟头拿还猪公式计算结果与我的“作品”进行比对，从根本上我就忽略了24同态及纯色因子问题。05年春节前，我以为N阶魔方的性质只是三阶的简单扩展，甚至都发表了论文，大烟头用四阶二棱块对换嬉笑本人，让我惊出一身冷汗，立即意识到自已完全错了，当即拆掉论文，整个春节都在苦苦思索，最终写出N阶定律，这种事例很多，我挺喜欢别人的质疑，那怕是恶意但结果是正确的，都可以接受，除了一些恶意的不着边际的弱智攻击，我也时常质疑别人的理论，可能还弄的一些人很不爽，对就是对，错就是错。反正，总是在别人的挑战中前进，即所谓真金不怕火炼。希望能与各位精诚合作，将我们的爱好，也许可能称为事业，推向前进，从中享用更多的惊喜与愉快。

[此贴子已经被作者于2006-12-2 21:33:25编辑过]

邱志红

可能你说的排列与我说的排列不一样。排列的含义现在太多了

计算机程序设计里有一个排列论与通用散列法，你说的是一种排列，我说的可能是另外一种排列，还有计算排列组合数时又有一个排列，现在不是还有“排列3，排列5”吗等等

另外我学的《高等代数》也与你说的不同，我学的《高等代数》不含群论。我学的群论是《近世代数》里的，而里面没有排列论。我学的《高等代数》里的排列只是排列，没有上升到排列论。

我们的知识体系不同，导致误会了，我很抱歉

乌木

67楼说：“边角块簇簇内状态数=24×21×18×15×12×9×3”

是不是这么来的：
角1取位可能数 8，取向可能数3， 8×3＝24；
角2 取位可能数 7，取向可能数 3， 7×3＝21；
角3取位可能数 6，取向可能数  3， 6×3＝18；
角4 取位可能数 5，取向可能数   3， 5×3＝15；
角5 取位可能数  4，取向可能数  3， 4×3＝12；
角6取位可能数   3，取向可能数  3， 3×3＝ 9；
角7 取位可能数  1，取向可能数  3， 1×3＝ 3；
角8 取位可能数  1，取向可能数  1， 1×1＝ 1。

组合：24×21×18×15×12×9×3（×1）。

如果这样理解是对的，那么我66楼的话就不对了。我在两处都是凑答案的：看到最后是×6，我就理解为角7取位数为2；看到最后是×3，我就理解为角7取位数为1；而那个×6只是已经乘上两倍后的结果，跳过了乘两倍之前的、最后的×3，两步并作一步走啊，我却看不出来。

角7究竟取位可能数是2还是1？今天看了67楼的最新说法，我得设法理解角7取位可能数只有1，尽管轮到角7取位时尚有两个空位。这应该是由于受制于魔方定律吧？我还搞不大明白。角8最倒霉，毫无自主权，1×1＝1，别无选择，这倒可以理解。

接着还要×2 / 24，才获得3674160：

24×21×18×15×12×9×3（×1）×2 / 24＝3674160。

“难得，难得。”先凑对了再说，对“×2 / 24”再慢慢琢磨。

[此贴子已经被作者于2006-12-3 0:27:54编辑过]

pengw

所谓簇内变换产生的状态是指用三交换、色向变换能够在一个簇内产生的所有状态，当角块进行到第七步时：

余下的二个角块是不可能交换位置了，第七个角块一但选定色向（有三种可能性，见色向变换法则），第八个角块就没的选择了，第七个角块完全决定了第八个角块的色向状态。

所以算式最后是*6*3

结果乖2跟扰动关系数有关，除24跟偶阶同态问题有关，详见“基于N阶定律的状态数计算方法”一文

我的计算方法是为了兼顾N阶魔方而制定的，就单簇计算而言，如二阶，根本无须考虑扰动关系（考虑也是正确的），二阶任意二个块可以交换位置，第七位是6,第8位仍然没的选了，如果是这样，算式应该是：

（24*21*18*15*12*9*6）/24

显然与考虑扰动关系的计算方法等价，这种方法仅仅对单簇魔方有效，本质上，中心块簇以外的任何簇的状态数匀可照此原理计算，但综合成魔方状态就存在一个问题，不同簇的状态是不可以随意搭配，如何搭配才是合法的？这是N阶定律扰动关系解决的一个问题，即将魔方变换分为簇内变换与簇间变换二种，用簇内变换计算各簇状态数再乖上簇与簇状态的搭配关系数，一切OK。也许我又说复杂了，没办法，这些都是魔方固有的性质，有些人可能不喜欢我的表达方式，我的理解是：中国与CHINA有什么区别？难到说的不是一回事？

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另外在此特别声明一下，我的最小步数论文被我自已举出反证了，抱歉，对大家说大话了，我还在努力。

[此贴子已经被作者于2006-12-3 9:42:10编辑过]

乌木

哈，新的一天的阳光－－72楼又说：“我的计算方法是为了兼顾N阶魔方而制定的，就单簇计算而言，如二阶，根本无须考虑扰动关系（考虑也是正确的），二阶任意二个块可以交换位置，第七位是6,第8位仍然没的选了，如果是这样，算式应该是：

（24*21*18*15*12*9*6）/24”

原来如此，冬兄是用“三交换”求状态数，角7的状态数一般N阶为1×3；对于二阶，为2×3。所以我看到的二阶时×6或×3都对，区别在于接下来不乘两倍或乘两倍。

我读冬兄文章时，没有也不会用“三交换”思考，而是用一般的排列组合概念－－逐个地、任取一个角块去“占位”，到第7角块时要受制于魔方定律。但具体排第7个角块时，我就糊涂了－－空位置还有两个，老七的“选位权”是1还是2呢？看到冬兄的算式最后是×3，我就以为老七的选位数是1；看到×6，就以为是2。也就是说，我还不会运用魔方定律，也即跟不上冬兄的思路（这怪我，与您无关）。往往为弄清一个点滴小问题，就要多次烦您不少精力。所以上面我说“难得，难得”。

而rongduo兄的“魔方组合原理”，对我来说，啃起来基本很顺畅。

pengw

魔方组合原理中的计算方法，严格地讲是一种手工而非基于变换性质的计算，即手工组装计算全组合数，再除以手工发现的错误数+1，到三阶为止。如果不熟悉魔方定律，三阶以上恐很难算出。如果仅仅是玩玩三阶，只须懂的：

1。晋通的全组合知识：用于计算手工组装状态

2。还原魔方的方法：用于识别非法状态

凭以上二点即可算出三阶的合法状态数，无须知道更多，但要计算四阶、五阶恐怕很难，乌兄可以用组合原理试算一下四阶或五阶，并表达清楚原理，从中可以体会扰动的作用。

一个称之为状态描述的理论一定可以自足（无手工组装介入）地预言所有状态， 如果这个理论存在缺陷，将导致状态数计算错误，不能解释的状态，无法预言公式循环周期。

另外，诚心提醒一点，仅凭手工组装方法是无法正确计算魔方状态数的，变换性质必须介入

[此贴子已经被作者于2006-12-3 11:52:53编辑过]

rongduo

QUOTE:

以下是引用pengw在2006-12-1 18:43:39的发言：

显然，计算有问题，绝色三阶从组装角度，有11种错误，外加一种合法的，总共12，三阶组装状态总数除12，就是纯色魔方状态总数.

二阶组装总态：24*21*18...*3=3^8*8!=264539520（未消同态）

二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）

二阶所有组装类型数：264539520/3674160=3

二阶非法组装类型数：3-1=2

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为什么计算值44089920会比我的计算值88179840小一半？答案很简单，没有乖上扰动关系数（2n阶=2^n,二阶为2)，这说明扰动关系的角色仍然没有引起必要的重视，rongduo的数据没有考虑扰动关系作用。要想计算高阶魔方状态数,忽略扰动关系数是不可能的.

在你所引用的乌木的帖子中，乌木性急了一点，未读完全书（虽然快要读完了），就开始猜测总组合数，这个自然难免出错。由于已经说明是猜测，我想，连乌木自己也不需要负什么责任。至于猜测之不妥，从后续的帖子看，乌木先生已经意识到了。

你我的论域和出发点差别很大，但完全可以和平共存。古贤曾谓“君子和而不同”，至哉斯言！

你的扰动概念是一个很好的、极具概括力的东西，在你的理论中占有重要位置。不过在我的系列中不需借重它。我是运用置换（或排列）的奇偶性质，来处理你所说的扰动问题的。

现在，是将这个主题帖子束之高阁的时候了——已经有了乌木兄一丝不苟的审读（那多有错乱的网页，实属难能！），而不同的意见也得到了很充分的发表。

感谢忍大师，时有勖勉，让我特感受用；而其批评也警醒着我，促我如履薄冰，审慎地对待自己的理论。

乌木兄执着于探寻魔方奥秘，其精神让我至感敬佩和亲切。由于他发帖甚多，我还不能全部细读（很遗憾，我只能在双休日上一上网）。但在将来修订拙作的时候，将以乌兄的帖子作为重要参考。

还要感谢邱志红君，是他将这个起始于两年之前的、已经尘封的主题重新翻检出来（连我自己都有隔世之感！），使得我再一次有机会与各路高手进行思想的交流和碰撞。这无论如何不是坏事。争议中语言或有冲撞，望邱君谅之！

[此贴子已经被作者于2006-12-3 14:51:11编辑过]

pengw

求大同存小异，很好很好，其实真的没的批评谁的意思，只是用我自已犯的错误举例，我常犯错，明知是不对的，还恶作剧式的逗着闹，大家都看过了，哈哈哈。看了rongduo上面的表述后，我居然在自已的文档中发现了一份已记不清是谁发给我“组合原理”WORD 文档，不错不错，我现在对rondguo的置换奇偶性很好奇。

对三阶：

奇环（或称为奇置换）：可以立存在的，不依赖任何其它变换，如何用跷跷板原理平衡？

偶环（或称为偶置换）：分二种情况

1。偶数个偶环可以独立存在

2。奇数个偶环不可以独立存在，对三阶而言，奇数个偶环必然同时存在于中棱块簇与边角块簇中，同时中心块簇的转量的绝对值之和是90的奇数倍，这个问题用扰动方程很好理解，但用跷跷板原理如何解释？

另外,rongduo在文中分解出的一系列置换类别（或称为环类别），匀可通过基本的三置换构造出来，三置换可以独立构造奇环，但只能成对独立构造偶环，如果发现一个簇的偶环数为奇数，显然三个簇相互发生挠动了，又如何用跷跷原理解释？

3。中心块独立转动180,跷跷板原理如何解释?

不过，跷跷板原理对解决中棱块，边角块的色向变换现象是没问题的。

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以上只是我的一些初浅的看法，也许对跷跷原理的理解的不够。

pengw

再对跷跷板原理计算三阶纯色魔方（不考虑中心块）的方式进行分析：

边角块状态数：24*21*18*15*12*9*3=3^7*8!/2

中棱块状态数：24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2=2^11*12!/2

边角块状态数*中棱块状态数=（3^7*8!/2）*（2^11*12!/2）

计算值是纯色魔方总状态数的一半，基于扰动关系的算法在此乖上了扰动关系数2，正好解决此问题，而跷跷板原理如何处理这种情况？基于什么原理？很想知道。有时，我觉得扰动关系让很多魔友困惑，也在寻求一种更简单的等效方法，显然，rongduo魔友计算出了正确答案，其中必有一种等效方法，但我没有看明白，rongduo魔友方便的话，能不能详细解释一下？

乌木

我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。

① × ②是，符合“翘翘板”的角态数与符合“翘翘板”的棱态数组合后的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。

他还简单提了另两种算法：
据魔方定理什么的，得（8！×3^8×12！×2^12）/12  ；
据群论的奇偶置换什么的，得（8！×12！×3^7×2^11）/ 2  。

说错的话，请各位指正。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 11:54:11编辑过]