魔方公理

pengw

QUOTE:

以下是引用乌木在2006-12-4 11:34:31的发言：

我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。

① × ②是符合“翘翘板”的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。

他还简单提了另两种算法：
据魔方定理什么的，得（8！×3^8×12！×2^12）/12  ；
据群论的奇偶置换什么的，得（8！×12！×3^7×2^11）/ 2  。

依据跷跷板原理：

中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：

中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2                          满足跷跷板原理

边角块置换的对立状态数：8!-8!/2                                满足跷跷板原理

中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2，       满足跷跷板原理

边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3，            违背跷跷板原理

中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4，           违背跷跷板原理

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照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：

 20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）

显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。

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在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的

对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:21:01编辑过]

乌木

我78楼仅仅是对rong兄文章的初步理解。照冬兄79楼一说，我也觉得好像有问题了。我是没能耐说明什么的，必得rong来说的。而rong兄要双休日上网，我且把对冬兄79楼所提问题本身的理解及其他，叙述如下。

第8个角的取向数只有1，被“剥夺”数为2，因此，合法的角取向总数为3^7×1，非法的为3^7×2 。

而rong兄在计算那个“ ③”的数值时，先组合非法角置换和非法棱置换，得到“非非得合”的角棱置换态数（8！/2）×（12！/2）＝20160 × 239500800，然后考虑角和棱的取向－－但只用合法取向数3^7×2^11＝ 2187 × 2048，根本不理睬我这里上述的、非法的角取向数“3^7×2”　。所以 ，③就等于20160 × 239500800 × 2187 × 2048＝① × ②  了 。

可见，冬兄认为rong应该用“3^8-3^7＝3^7×2”来计算③；而rong没有用，用了“3^7”。

是不是分歧在此？

我模糊感到，用“3^8-3^7＝3^7×2”还是用“3^7”来计算③，涉及某种逻辑问题。好像是，如果用了“3^8-3^7＝3^7×2”的话，岂非又出现“不符合‘翘翘板’”状态了吗？仅是初步感觉，对排列、组合、逻辑之类的问题，我很怕。您看，我一会觉得rong算得对，一会觉得rong算得有问题，正说明我不懂。

这样争争应该可以弄清楚的吧。

pengw

乌兄看到关键点了，我还是那句话，跷跷板原理不适用于色向计算？理由是什么？那么应该在什么样的条件下有效？rongduo兄的计算式存在主观介入和修正的成份，偏离了跷跷板原理的指导。

乌兄说："模糊感还是应该选择3^7,2^11",理由是什么？用跷跷板原理如何解释？

可以证明，这一原理用在四阶或四阶以上，肯定是错误，当然rongduo兄早已申明，仅针对三阶纯色，不含中心块。我的观点是，不要用着色来期骗眼睛。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:34:01编辑过]

乌木

是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 19:15:41编辑过]

pengw

QUOTE:

以下是引用乌木在2006-12-4 19:08:29的发言：

是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。

从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态，这个层面的所谓非法，是指不同簇之间的状态搭配存在非法，只可能产生于非法组装导致的扰动错误中，从这一点讲，跷跷板原理的基础就出问题了，如果将8!和12！这样的手工组装数据引入计算，无疑让手工介入了，而一个理论的自足性就被破坏了，从而理论被证明有缺陷。

一个根本性的反证，借用rongduo的数据，三阶纯色，魔方合法状态与非法状态的比例为11：1，这个跷跷板又如何平衡？是不是一端太重，另一端太轻？

[此贴子已经被作者于2006-12-4 20:10:35编辑过]

乌木

您说“从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态……”，我一直以为它们分别都是一半合法，一半非法的呢，我得重新认识。此前我认为是：

是不是说，假如一批半成品魔方，棱块是装对了的，让我装角块的话，我有8！种排角位法，都可以交货？或者，假如一批半成品魔方，角块是装对了的，让我装棱块的话，我有12！种排棱位法，也都可以交货？（此处暂不论取向问题，即交出的货还是半成品，以后还要调整取向。）

显然不对。那么，一定是给我12！个装好了棱的魔方，这12！个棱态位置情况无一重复，我的8！个角态必须挑出符合某种定律的一半去配12！/2个符合定律的棱态；我手中另8！/2个不合定律的角态只能去配不合定律的12！/2个棱态。（此处，暂不考虑取向问题。此外，“配”指组合，即相乘，不是那种一个螺母配套一个螺钉的一一对应。）

也就是说，给我12！个棱位对而取向暂不论的半成品，我可以虚拟地放大（组合）出 12！×8！/4 + 12！×8！/4＝ 12！×8！/2个棱、角位置都正确的、取向暂未拨正确的魔方来。

区分角位置态或棱位置态为两部分是根据能否簇内复原位置。

今天，我的上述观念有问题了？我将不可能区分8！个态为两部分？也无法区分12！为两部分？

容我想想。

pengw

乌兄，我再重复一遍，站在簇的层面，你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。换句话说，如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！，中心块是4^6,这些转出的数据与手工数据完全一致。如果你能找出一种例外，我在吧中谢罪三天。

关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。

rongduo兄说的棱块置换状态，合法与非法各占一半，应该表达为：棱角置换状态一半归基态簇，一半归扰动簇，而色向和为零不受簇类型影响，从这种角度出法，就可以理解rongduo的计算式为什么是正确的了，但其表述的计算原理是错误的。

从簇层面：

          中心块不允许置换，所以永远不会有组装导致的非法状态。

          中棱块和边角块记只存在安装造成非法色向，不存在安装造成非法位置组合

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所以，rongduo兄说的棱角置换非法状态根本不存在，倒是棱角色向存在非法安装状态，因此rongduo兄弟的计算原理须要斟酌

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乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。

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我在这里再给出一个命题：“三阶复原状态偶次转动（以90度转动为基本单位）的状态与三阶复原状态奇次转动的状态有部分相同”，有人同意吗？

[此贴子已经被作者于2006-12-5 10:14:52编辑过]

乌木

谢谢冬兄费心详答。

* 您说：“你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。”

我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。

* 您说：“如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！……”

这我接受。不过，是否把“组合”改为“排列”。

* 您说：“关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。”

我接受。但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它。

*您说：“乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。”

是的，我还得尽量弄懂何为簇内变换，何为簇间变换。容后再说。

*那个“命题”我等等再试做。 对了，多给些习题做做是个好办法。

pengw

乌木：

我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。

pengw:

以二阶（边角块簇）为列，二阶二个角块可以交换位置，那么任意二个角块都可以交换位置，所以计算到第七位就是2，第八位没的选，所以是8!，显然跟人工交换计算的数据一样。同理，中棱块簇也一样，是12！，所人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。

乌木：

不过，是否把“组合”改为“排列”。

pengw:

说得好，是排列不是组合，这是一个不应该犯的低级错误，羞愧接受。

乌木：

但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它

pengw:

以扰动为核心的N阶定律，不仅可以预言所有魔方的合法状态，也可以预言非法状态，详见“魔方组装分析”一文，就我的理解，状态应该由变换规则自足地预言，而无须拆开魔方，否则只能预示理论有问题，因为我们主要还是对转动而非组装更感兴趣，当然，除大烟头这类梦想靠魔方发财的商人除外，哈哈哈，玩笑。

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上面那个命题，也是N阶定律预言的命题，很有意思。

换一种命题方法：以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。

注：以90转动为步长

[此贴子已经被作者于2006-12-5 13:59:40编辑过]

乌木

谢谢。

*您说：“人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。”

原来这两种错误不是用词的不同，而是不同的概念。看来我的问题出在这里。容想。