趣味代数学（2）时针和分针对调问题

migl

本人觉得：只有重合时才能对调。
证明从略。

migl

另：一天（24小时）里时针和分针重合几次？

标准答案：22次。

migl

呵呵。好像 12：56 与 11：05 的这两个时间段附近可以对调。
其他情况类推。

需要进行精确地计算。
还要说明55到56，或是56到57之间是不是只能取整数，不能取实数。
按题意是可以取实数的。
具体的交由电脑高手解决。

migl

楼主最好注明一下，这个钟被分成了几等份？
如果只精确到"分"，那就是分成了60份（60格）。
那么每到1分钟，分针移动1格；每到12分钟，时针移动1格。

这样的话，问题就简单了。
基本上是小学水平。

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搞错了，好像是中学水平。
要解比较复杂的方程。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-4 12:29 编辑 ]

migl

设x点y分时，两针可以对换。
如果我们把全周分成60格，显然分针走1格要1分钟，而时针走1格要12分，那么x点y分钟时，分针从起始位置“12”转过了x圈再另
加y格，即60x+y格。时针转速是分针转速的1/12，所以，时针转过了（60x+y）/12格。
两针位置对调，设这时指示着时间u圈另外v格，即60u+v格。时针应转过（60u+v）/12。
但是对调后的分针位置，就是原先时针的位置（从起始位置算起转过（60x+y）/12 格 ），所以
           v=（60x+y）/12                  ①
    同样地，原先的分针位置，就是对调后的时针位置，所以
               y=（60x+y）/12                  ②
即
                12v-y=60x                      ③
                12y-v=60u                      ④
3 x 12 + 4 , 得
                143v=60u+720x
4 x 12 + 3 , 得
143y=60x+720u
即              
            y=60（x+12u）/143，   v=60（u+12x）/143
其中x、u是钟点数，即表示0，1，2……，11，各有12种可能，两者配合在一起应有144种可能，一一代入，可得全部解。
例如，当x=0，u=0时，得y=0，v=0，即0点0分。此时，时针、分针都在“12”上。
当x=1，u=1时，
          y=60×13/143=60/11
          v=60/11
原先所指时刻是1点61/5分，此时两针恰巧重合，当然可以对调。
当x=5，u=8时
       y=60（5+12×8）/143=42.38
       v=60（8+12×5）/143=28.53
原先所指时刻是5点42.38分，对换时后是28.53分。

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网上找来的。
是 实数 解？

migl

上面是别人的解法，我在网上搜刮来的。
我也在消化中~~~~

migl

你这是整数解。即：精确到“分”。
如果按实数解呢？
即：将钟面理解成可以无限分割的圆面，分针的旋转速度是时针的12倍。那什么时候分针与时针互换后，所指的时间依然是正确的时间？

migl

这种局面的主要原因是：“重合”是显而易见的可以“对调”，不用费太多脑子。

而真正的“对调”，却需要强烈的计算后才能打保票地提出。

比如作为整数解，0:05 与 1:00 是可以对调的。像这样的解可不是随随便便就能“脱口而出”了。

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既然你那么喜欢挑战，那我将这个问题升级：
如果是实数解，你能给出解法吗？（ 当然，次数应该是和整数解一样的。但是具体的时间在数值上就不一样了。 ）

即：将钟面理解成可以无限分割的圆面，分针的旋转速度是时针的12倍。那什么时候分针与时针互换后，所指的时间依然是正确的时间？

（ 别指望我，我可不会。  ）

[ 本帖最后由 migl 于 2009-7-31 10:45 编辑 ]

migl

整数解时，时针与分针在1:05时重合。
而在实数解时，时针与分针却在1:05与1:06之间重合。

在1:00时，时针与分针相差30度。
设1点x分时时针与分针重合，则从1点至1点x分时，分针旋转过 (x/60)*360=6x 度，时针旋转过 6x/12=x/2 度，则有：
6x - x/2 = 30
解得 x=60/11
即：在1点5分零11分之5（ ≈1:05.4545 ）时，时针与分针重合。

不知道实数解的通解算法如何?
能不能计算出精确的时间解值？