几个根基东西的证明

邱志红

（这是Part1,还请留意后面的Part2,Part3……等）

魔方中有很多重要的变换及定律在论坛里都被大家默认为是正确的而直接加以运用，往往这些都是经验所得，其理论的根基相当薄弱。许多人都是知其然，而不知其所以然，感觉魔方的变化是被什么定理定律所支配，但又说不清楚是什么。而且在遇到不同类型的魔方的时候，发现以前的经验在有的地方行不通，便搞起特殊情况特殊对待来了，对魔方没有形成统一的，深入的认识。希望下面我的证明用到的知识方法及思路思想能让你对魔方有一个较清晰的“再”认识。而且证明过程力求深入浅出，几乎人人能懂。

注意：需要重视的是我证明用到的知识方法及思路思想，而不是对某个具体问题的具体证明过程。另外下文所述的一转都是指的魔方的单位转动。

有这样一个事实：魔方不能只是两角对换或者两棱对换。这个问题一直都是默认的，没有证明，我就来证明一下。

首先我来引进高等代数中的几个定义与定理。

定义 1 由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

例如，2431是一个四级排列，45321是一个5级排列。

显然12…n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其他的排列都或多或少地破坏自然顺序。

定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序数就是4。而45321的逆序数是9。

定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例如，2431是偶排列；45321是奇排列；12…n的逆序数是零，因之是偶排列。

把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换称为一个对换。例如，经过1，2对换，排列2431就变成了1432，排列2134就变成了1234。显然，如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了。

关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。

定理 1 对换改变排列的奇偶性。

这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。

证明   先看一个特殊的情形，既对换的两个数在排列中是相邻的情形。排列

                   …jk…              （1）

经过j,k对换变成

                                     …kj…              （2）

这里“…”表示那些不动的数。显然，在排列（1）中如j,k与其他的数构成逆序，则在排列（2）中仍然构成逆序；如不构成逆序的则在（2）中也不构成逆序；不同的只是j,k的次序。如果j,k原来组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个，如果j,k原来不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个。不论增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形，定理是对的。

再看一般的情形。设排列为

                …ji₁i₂…i_sk…                 （3）

经过j,k对换，排列（3）变成

                …ki₁i₂…i_sj…                 （4）

不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻的数的对换来实现。从（3）出发，把k与is对换，再与is-1对换，也就是说，把k一位一位地向左移动，经过s+1次相邻位置的对换，排列（3）就变成

                …kji₁i₂…i_s…                 （5）

从（5）出发，再把j一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列（3）就变成排列（4），因之，j,k对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现。2s+1是奇数。相邻位置的对换排列的奇偶性，显然奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性。

定理证毕。

回到魔方上面来，其实可以给每一块按一定的顺序编上号，按什么顺序并不重要。比如对复原的魔方就按自然顺序，顶层的优先从左到右，而后从上到下，再对中层也一样的方式编号，最后是下层，也用一样的方式编号。

这样就构成了一个排列：1 2 3 … 27。是自然的排列，是偶排列。

定理  魔方小块位置状态的排列的奇偶性不变。

下面只是用数学归纳法来证明排列为偶数的情况，奇排列的情况可以同理证明。

证明： 1．初始状态是偶排列

2．假设魔方转动n次，魔方小块位置状态的排列是偶排列

转动n+1次的时候，为了方便讨论及一般性，就随便取九个层中的一个层来讨论，并按自然顺序编为

a  b  c

d  e  f

g  h  i

        假如按顺时针来转动，结果就是

g  d  a

h  e  b

i  f  c

        这个变换可以分解为角块位置的3次对换加棱块位置的3次对换。一共是6次对换，是偶数次对换，不改变排列的奇偶性。

        逆时针的情况可以同理来证明。

    由上面的两步得，魔方小块位置状态的排列的奇偶性不变。

       

    有了上面的定理就可以解释开头提出的问题。因为对换会改变魔方小块位置状态的排列的奇偶性，是违背该定理的，是不成立的，自然实际转动中也不可能实现。

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完成日期:2006年11月6日
发表日期:2006年11月7日

[此贴子已经被作者于2006-11-16 15:59:37编辑过]

邱志红

还有三交换一直是被默认为是魔方的最基本的变化，其实不然，对换才是最基本的，三交换其实就是两对换的结果，是满足上面定理的。

而所谓的扰动现象也可以很容易用上面的定理解释。发生扰动的时候，棱块进行了奇数次对换，角块进行了奇数，合起来是偶数次，满足上面定理。这还是不能解释为什么表层转动奇数次不能通过偶数次还原。

这就要灵活运用上面定理的证明方法及思路了，上面的定理是针对对魔方小块整体位置状态的排列而言的。

现在单就角块这一簇来讨论，棱块这一簇同理。初始复原态的排列就是偶排列了，转动一次就等价于三次对换，转动奇数次就等价于该转动次数三倍的对换，最终还是奇数次对换。得到的是奇排列，改变了排列的奇偶性。而转动偶数次就等价于该转动次数两倍的对换，最终还是偶数次对换。不改变排列的奇偶性。所以表层转动奇数次不能通过偶数次还原。

这讨论的都是三阶魔方，二阶魔方的情况可以用同样的方法分析。它的块可以两对换也可以很容易解释。奇数次转动就可以达到。

 

五魔方也一样，五魔方转动一次等价与四次对换，是不改变魔方小块位置状态的排列的奇偶性的。所以五魔方怎么转动都不会出现三阶魔方中的扰动现象。

其他任何魔方都可以把小块编上数字，然后用排列及其分析方法来分析。

这都是魔方小块位置的问题，色向的问题我正在思考中……

邱志红

扰动的本质，是多个簇被迫同时参与直接变换造成的一种现象

我的证明或多或少解释了这种“被迫”，而同时也解释了五魔方的角块与棱块之间又为什么“不被迫”。这样大家对魔方就会有一个统一的新认识，而不是对不同类型的魔方都特殊处理，喊出特殊性质之类的话来。

邱志红

赞同，再严密的数学推导都是建立在实物结构之上的。结构决定性质，而数学方法的运用往往能解释结构怎样决定性质的，但不能左右实物的性质。这是我的理解

大家有时候认识到魔方的一个性质的时候，不妨也考虑下结构是怎样决定性质的，而不是一句“结构决定性质”搪塞过去。

另外位子轮换的确是魔方最基本的，而我用的数学方法把最简单的对换作为最基本的，是为了中间分析过程的方便。最后“输出”，也就是运用到实物上则更多的是三交换，轮换等。

说到底，总的模式是：实物→数学模型→实物，解决实际问题才是目的。

[此贴子已经被作者于2006-11-7 13:08:13编辑过]

邱志红

以下是引用邱志红在2006-11-7 13:06:29的发言：

赞同，再严密的数学推导都是建立在实物结构之上的。结构决定性质，而数学方法的运用往往能解释结构怎样决定性质的，但不能左右实物的性质。这是我的理解

关于这一点有一个很好的例子。假如你不考虑魔方的结构，而单纯去抠定理 魔方小块位置状态的排列的奇偶性不变。是会闹笑话的。

这个定理只是魔方状态的个必要条件不是充分条件。也就是说任何合法状态的魔方必须满足这一条，连这个必要条件都不满足的状态就当然不可能存在。但反过来满足这一条的不一定都是合法状态。

比如，中心块三交换满足该定理，但其实那是不可能的。究其原因在于魔方的结构。
 

魔方的实际结构限定了中间层转动时各中心块的交换形式。看下图：
 

我也不硬说6个中心块是固定在中心上的，相对位置是不变的，但最起码相对的两个中心块是固定在一条直线上，绕中点旋转。也就是说一个中心块就决定了相对的那个中心块。也就是说6个中心块是由其中某3个中心块决定的，于是在转化为排列的时候就可以 记为 （1 2）（3 4）（5 6）。比如 1  2  3  4所在层转动90度后，排列变为（3 4）（2 1）（56）。即使继续转下去，（1 2），（3 4），（5 6）各对都是不分家的。如果要实现三交换，就必定要拆散某一对，这是与各对不分家是相悖的，不能成立的。中心块的交换只能成对地进行。

所以还是印证了 结构决定性质，而数学方法的运用往往能解释结构怎样决定性质的，但不能左右实物的性质。就像大自然的规律是既定的，人只能认识并利用大自然的规律而不改变大自然的规律一样。

 其实往往为了研究的方便，可以固定六个中心块。另外除去中心块的特殊轮换，那个定理 魔方小块位置状态的排列的奇偶性不变 就是三阶魔方各块位置状态的充分必要条件了。

[此贴子已经被作者于2006-11-8 11:26:11编辑过]

邱志红

（承接一楼的，算是Part 2）

下面讨论的是魔方的色向问题，N阶魔方存在色向的块其实就只有8角块与12中棱块，6个面心块也可以说存在色向问题，但可以当做是与角块，棱块位置相关联的位置问题。这里就不谈了。

关于该问题我还是沿袭前面的方法。用数的排列来解决。

先来看看8个角块的情况。下图：

这是我对魔方表面块位的编码。注意这不是2阶魔方，这是N阶魔方的8个角块。现在处于初始状态，其数字排列则记为：

1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

每三位用斜线隔开，分成八个部分，对应于八个角块。

特别注意，初始状态时，“1”所在的位置代表1号位。“2”所在的位置代表2号位。依次类推，“n” 所在的位置代表n号位。n小于或等于24。

对于初始状态来说，1号位上的数字是1，2号位上的数字是2，n号位上的数字是n。但转动以后就不是这样了。转动之后状态的数字排列就按1号位到24号位上的数字依次3位隔开排列就是了。

举个例子，顶层顺时针转动90度之后的排列就是：

10 11 12/1 2 3/4 5 6/7 8 9/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

意思就是1号位上的数字是10，2号位上的数字是11……，依次类推。这就是色向问题的数字排列的确定方式，按位依次进行。

下面给一个新定义。

逆位：魔方某个角上的三个数中的某个数大于它在这个角上初始所在的位置号，就称为一个逆位。一个排列中的所有逆位的数目称为逆位数。

注意定义中的“大于”。 一个角上某个数小于它在这个角上初始所在的位置号并不是逆位，这要与前面的逆序区别开来。这很容易弄错，所以特别强调。

很容易就发现上面顶层转动90度之后的排列

10 11 12/1 2 3/4 5 6/7 8 9/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

的逆位数就是：0

再看看123与456对应角块的扭转情况，假设123角块是顺时针旋转，而456角块是逆时针旋转，这是符合时候的一种扭转情况。它对应的排列就是：

3 1 2/5 6 4/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

数字3，5，6逆位了，逆位数就是：3

关于逆位数的运算。其实变换过程相当于现实中魔方角的扭转。运算过程是3进制

假设某个角上有三个数。p₁<p₂<p₃,初始排列就为p₁ p₂ p₃ 。

三个数向右轮换一次，就成了p₃ p₁ p₂ ，有且只有p₃就逆位了，逆位数增加1。

三个数向左轮换一次，就成了p₂ p₃ p₁ ，于是p₂，p₃就逆位了，逆位数增加2。

而p₂ p₃ p₁ 向右轮换一次，就成了p₁ p₂ p₃ 。逆位数由2增加1到3，由于是3进制，就变为10，为了方便只取个位0。总结起来就是：

三个数向右轮换一次，逆位数增加1。三个数向左轮换一次，逆位数增加2。满3变0。

于是有定理：

N阶魔方角块状态的逆位总数是0。

证明还是用数学归纳法

1． 初始状态的逆位数是0。满足定理。

2． 假设转动m 次之后，排列的逆位数满足该定理。

转动m+1 次之后。

第m+1次转动有12种情况。顺时针转动90度与逆时针转动90度论证过程类似，这里只论顺时针转动90度的情况。于是这里只论证6种情况，另外注意观察，发现顶层顺时针转动90度与底层顺时针转动90度的情况类似，而且4个侧面顺时针转动90度的情况也互相类似，所以这里最后只论证顶层顺时针转动90度与前面层顺时针转动90度的情况。

 （1）顶层顺时针转动90度的情况。

 
 

m次转动之后的排列状态为（底层的情况不变就略去了）：

m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /m₇ m₈ m₉ /m₁₀ m₁₁ m₁₂ /……

转动m+1次以后：

m₁₀ m₁₁ m₁₂ /m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /m₇ m₈ m₉ /……

各角上三个数的排列顺序没有变化，也就保持了原来的逆位数了，是0。

（2）前面层顺时针转动90度的情况。

 

m次转动之后的排列状态为（后层的情况不变就略去了）：

m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /……/m₁₃ m₁₄ m₁₅ /m₁₆ m₁₇ m₁₈
 

转动m+1次以后：

m₆ m₄ m₅ /m₁₆ m₁₇ m₁₈ /……/m₃ m₁ m₂ /m₁₅ m₁₃ m₁₄
 

/m₁₆ m₁₇ m₁₈/对应的这个角上的三个数顺序没有变，其他的三个角上的数都向右轮换一次，逆位数增加3，满3变0。逆位数增加0，最终逆位数为0。

底层的变换情况与顶层的情况类似，其他三个侧层的变换情况与前层的情况类似，可以同理证明。

由上面两条，定理得证。

从证明的过程，可以看出主要的地方在于对八个角表面24个“位子”的编码方法上面，而逆位数的定义只是把扭转数字化而已。我图中的编码不是随便填的，是很有规律的，致使顶层与底层怎么旋转都不会使逆位数变化，而四个侧面的旋转都会保持一个角上的逆位数不变，而另外三个角的轮换都朝一个方向进行，导致逆位数不变。

一般大家都能很容易理解角块原地的扭转，但不是原地的扭转就很难理解了。而采用这种编码方法，大家应该能很容易理解角块不是原地的扭转的时候，八个角是怎么扭转的。

但这种编码方法还是有些不足的地方，因为没有能统一六面的扭转情况。明显地在转动90度的时候，底层角块的扭转情况与顶层角块的扭转情况相同，四角都不扭转，而四个侧面的角块的扭转情况相同，一个角不扭转，其他三个角同向扭转。六个面就被我人为地分为两类了。这就像盲拧里面，顶面与底面高级面，其他面就是相对低级的面了。

所以按我的编码方法来理解角块的扭转就要注意分这两类情况来进行，不可一概而论。

显然这对于描述角块的扭转情况并不完美，但我们要描述的是八个角块色向状态，不是角块的扭转情况。在这一点上，我的编码方法以及人为地将面分为高级面与低级面的做法是完全可行的，是足够描述魔方角块的色向状态并能假以严格证明的。 
 

[此贴子已经被作者于2006-11-16 15:49:55编辑过]

邱志红

(  承接上一楼的，还属Part2)

现在来看看棱块的情况。与角块的情况是很类似的，而且更简单。看下图：

24个数的排布是很有规律的。同一面上的四个数奇偶相间排成一圈。

还是一样的，这里的“1”所在的位置代表1号位。“2”所在的位置代表2号位。依次类推，“n” 所在的位置代表n号位。n小于或等于24。确定转动后的排列就按位依次纪录各位上的数就可以了，并两位两位地用斜线隔开。

而且“逆位”在这里也适用，其定义是一致的。

逆位数的运算也是一致的，只是换了二进制来进行了。规则类似地是：

两个数轮换一次（对换），逆位数增加1。满2变0。

比如初始状态：

1 2/3 4/5 6/7 8/9 10/11 12/13 14/1516/17 18/19 20/2122/23 24

前层顺时针转动90度以后：

8 7/2 1/4 3/6 5/9 10/11 12/13 14/1516/17 18/19 20/2122/23 24

相应的定理：

N阶魔方棱块状态的逆位总数是0。

证明还是用数学归纳法

1． 初始状态的逆位数是0。满足定理。

2． 假设转动k 次之后，排列的逆位数满足该定理。

转动k+1 次之后。

第k+1次转动有12种情况。顺时针转动90度与逆时针转动90度论证过程类似，这里只证论顺时针转动90度的情况。于是只论证6种情况，注意观察，发现六个层顺时针转动90度的情况都相互类似，所以这里最后只论证前面层顺时针转动90度的情况。

前面层顺时针转动90度的情况。

k次转动之后的排列状态为（其他层的情况不变就略去了）：

k₁ k₂ / k₃ k₄ / k₅ k₆ / k₇ k₈ /……

转动k+1次以后：

K₈ k₇ / k₂ k₁ / k₄ k₃ / k₆ k₅ /……

四个棱上的数字都轮换（对换）一次，逆位数增加4，满2变0。逆位数增加0，最终逆位数保持不变为0。

其他五个面以及逆时针转动90的情况可以同理证明。

由上面两条，定理得证。

它的应用大家都有体会，就是两个棱块同时翻。同样地，原地翻转大家都能很容易理解及判断，但大家遇到不是原地的翻转就不知道怎么判断了。我的编码方法就给了一个很好的判断标准。

引申一下，单色向或称无色向的块所在的簇还是可以用1到24来进行编码，只是形式都类似下面的样子：

1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/22/23/24

发现隔不隔开已经意义不大了，因为各个部分内部不存在轮换了，也没有了逆位的说法了，只存在文章最初单纯的位置轮换关系了。至于这么隔开记是为了让大家明白色向问题的一般表示方式及一般性。

最后在色向变换过程中，这里是分角块与棱块分别独立进行讨论的，但从魔方整体上来讲各块还是一样遵循着开头提出的魔方位置状态的定理。

比如角块：1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

分别取出各角上的最小的一个数（事实上，随便取都行）排成一行，并去掉分隔线，就是：

1 4 7 10 13 16 19 22

这八个数差是多少等并不重要，重要的是有大小关系，并且初始是按升序排列就行了。抽象地记为：

p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ p₇ p₈

棱块也一样地取出12个数，按升序排列，抽象记为：

q₁ q₂ q₃ q₄ q₅ q₆ q₇ q₈ q₉ q₁₀ q₁₁ q₁₂

结合起来，记为p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ p₇ p₈ q₁ q₂ q₃ q₄ q₅ q₆ q₇ q₈ q₉ q₁₀ q₁₁ q₁₂。

这样得到的一个排列一样也满足魔方位置状态的定理。

总的说来，大的方面，各块满足魔方位置状态定理，排列的奇偶性不变。小的方面，就是色向问题，有色向块满足色向定理，即逆位数为0。

小结：上面的几个定理就勾画出了N阶魔方的状态，但我没有进一步总结出N阶魔方的状态定理。我想要大家学会的是分析魔方问题的方法，让大家知道魔方现实状态的来龙去脉，以及结构是怎样决定性质（状态）。如此而已

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完成日期:2006年11月14日
发表日期:2006年11月15日

 

[此贴子已经被作者于2006-11-16 15:51:34编辑过]

邱志红

终于完成了，现在大家就可以拿我的这几个定理去验证一下现实中魔方的状态，看是否经得起考验。

想要原始word文档的也可以发邮件向我索取。

我的邮箱：gongsui002@163.com

邱志红

(继续更新，Part3了)

牛刀小试一下,应用实例：

先看一个考最短复原步骤的题目，12.31日题：http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=18&ID=475&page=2

 该题还被老大作为图解三阶盲拧的教程的实例：http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=17&ID=493&page=1

这个算是应用很多的一题，大家也应该都有所了解，那我就那它开刀了。

它的打乱步骤：F2 L D' (F2 R' B U2 R)×4 L2 R' D (B2 R D')×5 L D2 U' F' R2

下面是打乱前与打乱后的对照图：

 

为了方便讨论，一直固定中心块。再拆分角块与棱块来讨论各自的色向问题，后合并角块与棱块来讨论整体的位置问题。

（1）角块的情况：

打乱前的排列是：1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

逆位数是0。

打乱后的排列是：22 23 24/2 3 1/4 5 6/7 8 9/16 17 18/19 20 21/11 12 10/14 15 13

逆位数是6，满3变0，最后逆位数是0。

角块的色向是满足定理的。

顺便取出打乱后的排列中各角最小的数组成新的排列：

22  1  4  7  16  19  10  13

逆序数为11。

（2）棱块的情况：

 

打乱前的排列是：1 2/3 4/5 6/7 8/9 10/11 12/13 14/15 16/17 18/19 20/21 22/23 24

逆位数是0。

打乱后的排列是：12 11/7 8/2 1/4 3/13 14/18 17/24 23/5 6/22 21/20 19/9 10/16 15

逆位数是8，满2变0，最后逆位数是0。

棱块的色向是满足定理的。

顺便取出打乱后的排列中各棱最小的数组成新的排列：

11  7  1  3  13  17  23  5  21  19  9  15

逆序数为23。

（3）把角块的逆序数与棱块的逆序数综合起来就是：11+23=34。而初始逆序数是0，都是偶排列，没有改变排列的奇偶性。满足定理。

验证完毕。

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完成日期:2006年11月15日
发表日期:2006年11月16日

[此贴子已经被作者于2006-11-17 9:34:33编辑过]

邱志红

最近在学做flash,下面就是我做的翻页动画，用鼠标可以翻动书的角或边。

http://www.imagecabin.com/?view=163988291e992b8b3f867bf54

该flash受保护了，而且提供的窗口太小，完全达不到应有的效果。推荐下载来看。稍做改动就是下载地址：

http://www.imagecabin.com/files/2006/11/19/163988291e992b8b3f867bf54.swf

或者先打开上面的一个，再打开下面的一个，就可以方便的在线看了（是全屏的了）。

内容就是我这里发表的帖子，只是包装了一下，显得庄严正式。

推荐用TheWorld浏览器，它可以方便保存。用下载工具也可以下载下来，或者我直接传给你。

当然我还是个flash新手，该flash有些粗糙简陋，当然还有许多不完善的地方。

[此贴子已经被作者于2006-11-20 11:19:47编辑过]