[原创]让人摸不着头绪的经典空间推理题

whitetiger

这个题目有标准经典解法的。

先看二维情况，也就是一个平面中的n条直线，最多把平面划分成多少部分？

解：

记n条直线最多把平面划分成f(n)个部分。

原始数值：f(0)=1；（也可以从f(1)=2开始）

递推公式：

平面中已有n-1条直线，那么新加一条直线，与原(n-1)条直线最多有n-1个交点，这(n-1)个交点把新增直线划分成n个部分，整个平面新增n个部分。

f(n)=f(n-1)+n（n∈Z+）。

最后的结果是f(n)=[n(n+1)/2]+1。

[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:39:07编辑过]

whitetiger

再看三维的情况，计算方法类似。

解：

记n个平面最多把整个空间划分成g(n)个部分。

原始数值：g(0)=1；

递推公式：

整个空间中已有n-1个平面，那么新加一个平面，与原(n-1)个平面最多有(n-1)条交线。这(n-1)条交线最多把新增平面划分成f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分，整个空间新增f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分。

g(n)=g(n-1)+f(n-1)（n∈Z+）。

最后的结果是g(n)=[n(n+1)(n-1)/6]+n+1。

g(10)=176

[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:40:16编辑过]

whitetiger

补充说明：

1、按道理，应该还有一个一维的结论：

n个点把一条直线分成(n+1)个部分。

在二维推论中用到了这个结论；三维推论中用到二维的结论。

2、我尽量准确表述，大家可以体会一下。

比如：

有的地方没有用“最多”。

里面用的“部分”在不同的地方含义是不同的。

whitetiger

5楼的基本是正确答案了。

除了最后的加数应该是46以外。

开头的2×2×2，是从3开始推的。从1推，会把规律性、严密性体现得更好。因为“3个平面最多8个部分”也没有给完善的证明。

另，3楼犯了“不完全归纳”的错误。一是没有验证足够的特殊值就开始推测规律；二是递推规律完全没有依据。

n个（不同的）平面“最少”会把空间分割成2n个部分。

whitetiger

QUOTE:

以下是引用爱因陈数在2007-5-2 16:33:07的发言：

不是有个公式的么

f(n)=(n^3+5n)/6+1

f(10)=176

套公式是没错，关键要知道公式是怎么来的？如何对问题进行推广。