超级数学难题，困惑多时了。

ursace

好像条件不够

rubik-fan

f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)=>f(0)=0
又f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0=>f(x)=-f(-x)即f（x）是奇函数。证明连续性：t-0时的极限limf(x+t)=limf(x)+limf(t)=f(x)即f(x)在任意x处是连续的。
现在证明了连续性和单调性。剩下的就是上述同学的结论了。f（x）=x

铯_猪哥恐鸣

首先，这道题的答案不显然。事实上，存在一个函数f(x)满足lz所说的条件，但是f(x)不等于x。具体LZ可以上百度查“柯西函数方程”。
这儿随意提些皮毛：
一般满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数叫做柯西函数方程的解。它们分两类：线性解（即似乎是显然的答案）与非线性解。
非线性解有着一些很奇怪的性质，但确实是存在的。具体还是百度吧。。。

lulijie

楼上的   t-0时的极限limf(x+t)=limf(x)+limf(t)即f(x)在任意x处是连续的。
在证明函数连续之前，极限存不存在都不知道。所以上述的结论不能成立。
     即  limf(x)  和 t-0时 limf(t)  这两个极限存在与否都还没被证明。

依然旋转

用数学归纳法

superacid

我再说一遍，对极限和连续理论不太懂的人，还是先看看数学分析再来做这道题。
这道题对无理数是不可能求出来的！！！

oboe

如果是高考题，应该是在线性代数范围内啊。
大一大二还学了线性代数。

Boooo

f(2)=f(1+1)=2f(1)=2
f(3)=3
f(4)=4
.....
f(n)=n
然后再证明就可以了
高中数学而已
数学归纳法

Cielo

原帖由 conwood 于 2009-6-10 00:10 发表
在wolframalpha上，输入f(x+y)=f(x)+f(y)，答案是f(x)=cx，加上有f(1)=1，所以答案应该是唯一的

但是题目里面没有要求函数是连续的，所以会有其他答案吧！

铯_猪哥恐鸣

同意，如果大家没有全国数学联赛一等奖的实力完全没有必要去否定“这道题对无理数是不可能求出来的”这一结论