超级数学难题，困惑多时了。

lamianbu

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-6-10 01:33 发表
首先，这道题的答案不显然。事实上，存在一个函数f(x)满足lz所说的条件，但是f(x)不等于x。具体LZ可以上百度查“柯西函数方程”。
这儿随意提些皮毛：
一般满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数叫做柯西函数方程的解。它们分 ...

这个题目的题干，貌似高数里很常见。

无奈，大学我没认真学数学。

现在高中生，就做大学题。很强悍。

kexin_xiao

最近吧里出现了很多数学问题，呵呵，学习一下

菜鸟要翻身了

f(x)是R上的实函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。
令x=0,得f(y)=f (y)+f(0),所以f(0)=0
令y=0,f(x)=f(x)+f(0)
y=1,f(x+1)=f(x)+1


不行。算不出来

shadowyang

的确，这道题很多朋友只讨论的整数情况，好一些的只讨论的函数连续的情况。

对于本题，确如33楼所说答案不显然，但是我觉得问题不全在于无理数，而在于没有条件说明 函数连续。

如添加连续条件。我的证明：
取x=0，y=0，得到f(0)=0;
f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)
f(x)的导数为[ f ( x + y ) - f ( x ) ] /[ f ( y ) - f ( 0 ) ]对y取趋于0的极限=1，即导数处处为1.
此时明白的 就知道证明完了f （ x ）=x

咖啡味的茶

楼上肯定有问题啊。0/0是常见的不定式。

咖啡味的茶

看我这个证明行不行…
由于f(x)+f(y)=f(x+y)，由于f(1)=1有f(0)+f(1)=f(1+0)有f(0)=0，用数学归纳法可以证明当x为有理数时满足f(x)=x，则有当x-->0时，f(x)-->0。令y-->0，则有f(x)-->f(x)，又由于f(x)+f(0)=f(x+0)，故f(x)=f(x)。
故该函数在所有位置连续，所以f(x)=x。

Boooo

这是在选修课本上讲的数学归纳法啦
高二学的...

superacid

为什么x --> 0时，f(x) --> 0 ?
你取 x 为无理数序列，则不知道任意一个f(x)值，你怎么得到
x --> 0时，f(x) --> 0
的结论？

superacid

高中书上的内容很多事不严密的

superacid

现在很多人都喜欢不懂装懂