[原创]魔方色向定理

邱志红

魔方色向定理

作者：邱志红

0.卷首语
感谢魔方吧给我一个展示自我的空间，感谢理论区版主PENGW对我工作的大力支持。

本定理适用于所有魔方，包括三阶魔方以及衍生出来的N阶魔方，多面体魔方甚至类魔方玩具等等。定理作用是确定魔方各色向块色向在魔方变化的时候始终满足的条件。

本论文采用了全新的分析方法及认知理念，剥去魔方多彩的外衣，跳出公式的圈子，抛弃方位表示，转层表示及转动表示等累赘，一统多边形的层（面）及多色向块的色向问题，专心直击一转的过程，终得魔方色向之本原。初涉魔方者易得其要领，久涉魔方者反倒不易。

 1.色向定理的原理描述
抛开魔方表面的颜色，将自然数标示于魔方的各块的各表面上，多色向块的表面一律按顺时针（逆时针亦可）依次标上连续的自然数。按一定规律纪录魔方初始及变化过程中的数字排列，把魔方的色向变化问题转化为数字排列的变化问题。

 2.编码排列及纪录规则
2.1编码排列

讨论色向问题，各块的位置问题这里就无视。而且这里只讨论一般性的一簇及一转，只涉及一层，也就是只涉及魔方一簇中在同一层的各块，下面简称层轮换块。下面讨论的均是m个块，每块n色向的情况。

首先，我们引入二维表的形式来描述层轮换块的状态。

一般层轮换块上数字的二维表排列为：

表1

层轮换块参照系的二维表排列为：

表2

解释一下上面两个表：

表1的每一行就代表一个块上数字的排列，其行标相同，一共m行，对应m个块。每行的不同列就是一个块上不同色向位上的数字了，依列标的增大而依次增大，到了n就突变为1再依次增大。

表2是表1的参照系，它的选取与表1没有联系，是独立的。在一转的前后是不发生变化的。

2.2纪录规则

实体魔方上的块及块上数字的排列是这样的：层轮换块构成一个大圈，而每块各色向位上的数字构成一个小圈。我们首先把大圈从某个地方“剪开”并拉成一列，然后把各小圈上从相应的地方“剪开”各自拉成一行，这样圈嵌套圈的排列方式就映射到一个二维表上了。具体映射规则：

1. 层轮换块依次按顺时针展开从上而下地映射到二维表的m行。

2. 层轮换块各块上的数字按顺时针展开从左而右地映射到一行的n列。

3. 一转过程中，层轮换块各块上位置相互轮换的m个数字映射到同一列。

比如一个层顺时针转动一个单位，表1就变化为：

只是最后一行轮换到第一行，而每行的各分量并没有轮换。如果没有第三点，那么层在转动的时候，映射得到的表就是行在轮换，每行的各分量也同时轮换，这样就不便于控制与研究。

注：为描述简洁，在不引起混淆的情况下，上面两个表就简称为表1，表2。

 3.扭转数的概念计算及色向定理。
3.1扭转数的概念

扭转数顾名思义就是魔方的一个色向块扭转的次数，是反映色向块扭转情况的。这里我将对其作数学上的严格定义。

扭转数：表1的某一行的排列相对表2同一行的排列从左而右轮换的次数。

扭转总数：表1中所有行的扭转数的总和。

3.2扭转数的计算。

在第1节有这样一个假定：多色向块的表面一律按顺时针（逆时针亦可）依次标上连续的自然数。这样在表1与表2中的行的分量也是连续排列的，而且统一是从左到右的顺序。一般形式为：

j  j+1 ……n-1  n  1   2 …… j-2  j-1

特殊的情况就是自然的排列了：

1   2 …… n-1  n  

一般的情况是表1中某一行的排列为：

k  k+1 …… n-1  n  1   2 …… j-2  j-1               （1）

而表2对应行的排列为：

j  j+1 …… n-1  n  1   2 …… j-2  j-1                （2）

那么此时就来比较下“1”在排列（1）与（2）中的位置差距就可以得到扭转数了，1在（1）中的第n-k+2位，1在（2）中的第n-j+2位。于是该行的扭转数就是（n-k+2）-（n-j+2）等于

j-k

这个结果很重要。

 3.3色向定理

 魔方的一个层在一转过程中，位置相互轮换的色向块保持其扭转总数不变。
 证明：一转前后表1第s行扭转数的变化记为△s,总扭转数的变化记为△。

那么，一转前，表1第1行的扭转数为q_1,1-p_1,1
          一转后，表1第1行的扭转数为q_2,1-p_1,1
                 △1= q_2,1- q_1,1

同理          △2= q_3,1- q_2,1
                 △3= q_4,1- q_3,1
                  ……

                 △m= q_1,1- q_m,1
  于是，△=△1+△2+……△m=（q_2,1- q_1,1）+（q_3,1- q_2,1）+……（q_1,1- q_m,1）≡0 

  即  △≡0

    命题得证。

 4.要点回顾
将魔方圈嵌套圈的排列方式映射到一个二维表上，能很容易地描述魔方的状态及计算魔方各参数。基于此描述方式的色向定理则深刻地揭示魔方色向问题的本质。

 5.作者自述
论文原创者:邱志红

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俗事所扰，短短不足两千字的论文终于在圣诞节完成了。希望我的论文能彻底让你理解并解决魔方色向问题。希望各位同仁不吝赠教.谢谢你读本人的拙作。

完成日期:2006年12月25日

发表日期:2006年12月26日

[此贴子已经被作者于2006-12-26 9:58:44编辑过]

邱志红

这个定理的提出及推敲花了我两个月时间。

我没有笼统地描述及论证魔方整体的色向问题，我做的比较细一些。

可能粗心的人又要蠢蠢欲动了，比如中心块问题可能就是第一个争论点。

我还是提前释疑吧，三阶表层转动一个单位的时候，只有一个中心块发生变化，不存在中心块的轮换问题。所以我的色向定理不用为此负责。

但是三阶转动中间层的时候，色向定理就要对中心块的变化负责了。大家可以去检验是否有问题

中心块的变化总是出乎大家的想像或者说臆测之外。角块棱块的扭转和为0放到中心块上就失效了，实在遗憾。

但是应用一下我的色向定理，大家就可以得到一个完美的结果。

     解释： 初始魔方复原的时候，魔方表面的数字排列与参照系保持一致，中心块的情况也是如此，也就是说中心块的扭转数为0.如何保持扭转数为0，再来看看色向定理，每次转动都使中心块发生位置轮换就可以了，翻译过来就是只转动中层就可以了。

     在只转动中间层的情况下，中心块的扭转和就是0了。就有一个中心块顺时针转动90度，另外一个中心块必逆时针转动90度，其他中心块不转动之说。

[此贴子已经被作者于2006-12-26 11:51:16编辑过]

邱志红

千推敲万琢磨，色向定理还是不够完善。又推敲了下，添上一句修改为：

 魔方的一个层在一转过程中，位置相互轮换的色向块保持其扭转总数不变。位置不轮换的单个块扭转数增加1。
不要误解，整个论文里的相关东西都是按顺时针来的，“一转”也是顺时针的。

3楼的最后一句的条件可以放宽些了。 在表层顺时针转动总数为4的倍数或者表层不转的情况下，三阶中心块的扭转和就是0了。

邱志红

色向定理的推论太多了。先给几个常用的：

1.魔方的某一簇的色向扭转总数恒为0，如果魔方在任何一转中该簇的色向块发生轮换或不参与该一转。

这个由色向定理是显而易见的，因为任何一转都满足条件，那么扭转总数就自然恒不变，为初始值0。

这样的例子比比皆是，比如N阶魔方的角块及中棱块，金字塔魔方的棱块，五魔方的角块及中棱块，Puzzle2.05里几乎所有魔方都是有力的实例。

另外，还有一类很特别的四色向块，钻石魔方的“角块”。

http://virtualpolyhedra.googlepages.com/diamond.html

太特别了，它既参与三轮换又参与四轮换。不过每转都轮换，它的色向扭转数还是恒不变，为初始值0。色向定理还是完全支配它了。

[此贴子已经被作者于2006-12-29 11:20:36编辑过]

邱志红

2.由于是讨论一转，所以无所谓正确装配与错误装配，都适用。看出色向定理适用面很广，同时也折射出魔方一转的无关性是很强的。从论文论证的过程就可以看出来。

首先块的扭转数是与色向块和参照系上的数字排列相关。而进一步，扭转数的变化就剥离了块上数字的相关性，只与参照系有关，最后扭转总数的变化连参照系的相关性都剥离了，与什么都无关了（定理的条件还是要满足的），恒为0了。

邱志红

3.就是计算魔方的组合数了。魔方（泛指任何魔方）色向的组合数从此有计算依据了，由于扭转总数为0，各块扭转数的和就可以写为一个方程，扭转数用Φ来表示。

Φ1+Φ2+……+Φn=0

假设在n-1个块的扭转数都确定的情况下，最后一个块的扭转数Φj有两个不同的值Φj1与Φj2.

那么就有：

Φ1+Φ2+……+Φn=-Φj1

Φ1+Φ2+……+Φn=-Φj2

由上两式就得到Φj1=Φj2。多个不同的值也是同样的道理。

这就是数学中常用的“同一法”，由色向定理就可以确定色向扭转数恒不变的簇，在前面所有块的扭转数确定的情况下，最后一个块的扭转数是唯一确定的。

邱志红

希望那些与帖子主题内容没有实际联系，或者没有实质内容的帖子不要发了，以后在本区见到就删。

另外涉及讨论人品问题的帖子也是首先考虑删除之列。

我发表下我对我的色向定理的观点。

它是针对所有魔方及类似魔方等玩具存在的色向问题而生的，而且能准确预言色向状态，为计算魔方组合数提供理论依据。

魔方中的许多问题，如果大家囿于特殊的魔方或者特殊状态，也许很难理解。反而一般的魔方或一般的状态的相关问题还容易理解些。就像读了大学再看高中课本一样。

邱志红

以下是引用pengw在2006-12-31 8:05:28的发言：

N阶定律对于正方体色子阵魔方边角块的色向和为零这一结论，存在一个推论，那就是二个角块可以独立变换色向，一个顺转120，另一个反转120。小邱认为色向和为零晋适于所有结构的魔方，为了证明这一点，我出一个验证题：

魔方:3*3*2，长方体色子阵魔方

初始状态：六面分别单色

目标状态：长方体任意二个角块独立变换，对所有位置关系（短边相邻，长边相邻，面对角线，体对角线），分别存在一个角块顺转了120度，别一个角块逆转了120度

要求提供实现目标状态的公式，如果不能，将证伪“色向和为零晋适于所有结构的魔方”

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谢谢乌木的指正，已纠正

怎么说呢？我的色向定理都是针对一转而言的，步步为营地进行的，这样就可以确保讨论的都是实实在在存在的色向状态。

你说的情况是转不出来的，是不存在的。

1楼一开始就有：“定理作用是确定魔方各色向块色向在魔方变化的时候始终满足的条件。”从这里看得出，全文讨论的都是转出来的存在的所有状态。全文的目标就是讨论这些存在的色向状态应满足的条件或者说方程。

从这个出发点来看，定理是没有什么问题的。

[此贴子已经被作者于2006-12-31 18:34:04编辑过]

邱志红

以下是引用pengw在2006-12-31 8:05:28的发言：

N阶定律对于正方体色子阵魔方边角块的色向和为零这一结论，存在一个推论，那就是二个角块可以独立变换色向，一个顺转120，另一个反转120。小邱认为色向和为零晋适于所有结构的魔方，为了证明这一点，我出一个验证题：

魔方:3*3*2，长方体色子阵魔方

初始状态：六面分别单色

目标状态：长方体任意二个角块独立变换，对所有位置关系（短边相邻，长边相邻，面对角线，体对角线），分别存在一个角块顺转了120度，别一个角块逆转了120度

我又想了下，在长方体魔方:3*3*2中，即使不考虑任何其他块状态的情况下，想通过魔方层的旋转让一个角原地翻转120度也是不可能的。

硬要让长方体魔方:3*3*2一个角原地翻转120度只有采用暴力拆装才做得到。

即便这样错装，它在任何一转过程中，扭转数前后保持不变。就如你说的，侧面还是可以使色向平衡。看来PENGW也开始对N阶立方体色子阵魔方之外的魔方有研究了。

问题的关键在：长方体魔方:3*3*2中，一个角块在一个位置上不像N阶立方体色子阵魔方的角块有三个状态，自然也就无所谓原地翻转了。

最后，我可能在什么地方混淆了色向和与扭转数的和。另外，我觉得我帖子中用到的模型及分析方法比定理本身更重要，是否应该把帖子更名为魔方的色向模型及应用。