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楼主: yang_bigarm

监狱长给犯人们出的难题 [复制链接]

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发表于 2009-8-7 22:05:26 |显示全部楼层
编程模拟一下,结果:
     假设所有人打开箱子的号码方案都是随机,试验10000次,没有一次100个人都成功.
所以觉得100个人都成功的概率应该很低。
-------------------------------------------
假设有100箱子、m个人,每个人可打开50个箱子,这m个人都看到自己的名字的概率为P(m)。
那么楼主的题目就是求P(100)的最大值。
不烦考虑一下,简单的情况。
P(2)最大值=1/4      ,两个人没有相同号码的方案概率最大。
P(3)=?
-----------------------------------
大家可以先求一下P(3)的最大值。这个应该比P(100)简单多了,但也不是看一眼就能得出结果的。
    P(100)的概率应该是个小概率事件。

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发表于 2009-8-7 22:09:30 |显示全部楼层
这个问题有点难,不理解……
金华QQ群85033206!

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银魔

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魔方理论探索者 魔方破解专家 论坛建设奖 六年元老

发表于 2009-8-7 22:23:37 |显示全部楼层

回复 11# 的帖子

对于两个人的情况,如果这两个人都随机去选,是独立事件,那么p(2)是1/4;如果这两个人约定好,选不同的号码,那么这时P(2)就等于1/2。
对于四个人的情况,随机选的概率p(4)是1/16,但如果这三个人约定好,1选1和2,2选2和3,3选3和4,4选4和1,那么这时P(4)就等于1/12?
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发表于 2009-8-7 22:38:07 |显示全部楼层
还是得让囚犯能有什么方法来传递信息,比如允许他们重新排列盒子之类的,否则每个囚犯发生的事情都是独立的,这道题就没什么意思了

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发表于 2009-8-7 22:44:28 |显示全部楼层
13楼的P(2)的定义和我的不一样,我的定义是100个箱子中有两个箱子中写有这2个人的名字,每个人可以打开50个箱子。

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发表于 2009-8-7 22:58:45 |显示全部楼层
3楼的
第一个人选1-50号,概率是1/2,第二个人选51-100号,概率也是1/2,那么他们都选中
自己名字的概率是1/2 x 1/2 = 1/4,就是25%,两个人的情况已经低于30%了吔。
那么100个人的情况怎么办呢?大家想想啊!
----------------------------------------------
我想当然的认为上面没错,结果5#计算的结果也出错。
    第一个人选1-50号,,第二个人选51-100号,那么他们都选中的概率应该等于
      50*50/(100*99)=25/99,不等于1/4,略大于1/4。
------------------------------------------------------
所以5楼的计算结果:
假设a选择打开的盒子号码与b选择打开的盒子号码有m个号码相同。(0<=m<=50)
那么,a、b都看到自己名字的概率1/2*(50-m)/99+m/100  *  (50-m)/99+m/100 *  (m-1)/99=100/99(1/4-m/10000)
当m等于0时取最大值25/99<30/100。所以楼主的要求还是不可能达到的

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发表于 2009-8-7 23:18:13 |显示全部楼层
可以按照13楼的定义来计算:
  那么随机方案,P(4)的概率并不等于1/16。应该比1/16大。
电脑模拟计算Noski定义的随机方案的P(4):
模拟1000000次,成功90095次。概率9%左右。

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发表于 2009-8-7 23:29:32 |显示全部楼层
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银魔

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魔方理论探索者 魔方破解专家 论坛建设奖 六年元老

发表于 2009-8-7 23:36:55 |显示全部楼层

回复 18# 的帖子

boy31几是不是一个系列呢。。
如果可以留信息的话,每个人只要给身后的人留1 bit 的信息就够了:
比如第一个人选前50个,如果他告诉身后的人是1,那么让身后的人也选前50个,否则就选后50个。这样概率就能达到50%,只要第一个人中了就行了。
当然这1bit 的信息可以用咳嗽一声或惨叫一声来代替
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发表于 2009-8-7 23:56:12 |显示全部楼层
重新计算17楼的随机方案P(4):
电脑模拟1千万次,成功次数920887。概率不等于1/16, 说明每个人选中的事件不是独立事件。

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