魔方与24

yumin598

若事物A有A1、A2两个，每个有状态0和1，则组合总数为2²＝4，即00，01，10，11。
若A有3个，每个有0、1两态，则组合总数为2³＝8，即000，001，010，011，100，101，110，111。等等。
这样，12个棱块色向的变化总数为2¹²＝4096，不包括棱块位置的变化数。
但是，这4096中还要扣除转魔方时的转不出的情况，因为转魔方时翻色的棱块数必定是偶数。故棱的色向变化总数只有4096的一半，为2048。
对于角块色向变化、中块的自转变化，也要作类似考虑和类似纠正。角块色向变化数：3⁸ / 3＝2187。中心块自转变化数：4⁶ / 2＝2048。

至于1楼说的三种数都是24，又是另一种含义。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:02 编辑 ]

yumin598

接着说。与数学有关的恐怕不在于“三个乘积都等于24”，因为在这样分割的魔方中，心块、角块、棱块各自的原地取向只能是4、3、2，问题是这魔方的面数（f）、顶点数(v)、棱数(e)符合“欧拉多面体定理”——v+f-e=2。所有的凸多面体都符合该定理。例如四面体、八面体、十二面体、二十面体都这样。六面体的传统魔方来说，8＋6－12＝2。但魔方的分割法变了以后，例如异形魔方（square-1)形状复原为立方体时，仍符合欧拉定理，但就没有“三个24”了！它的角块数仍为8，边块数＝？心块数＝？只有一个24了。                     
不过，若一种魔方其分割法能像传统魔方那样，可在欧拉定理基础上得出三个定数，则不妨把它们归属为一类，给个恰当的名字。比如，三阶的四面体魔方中，角数4x3＝棱数6x2＝特殊心块数4x3＝12，哇！“三个12”！ 魔方吧图片中的12面体魔方（北大姜伯驹院士有一个！） 中，角20 x3＝棱30x2＝心12x5＝60，哈！“三个60”！愿欧拉在天之灵安息！
所以，“三个24”的数学意义应该如上所述。是不是这样？愿请数学家指点。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:12 编辑 ]

yumin598

昨天说到异形魔方（square-1）时，有点问题，现补正一下。它没有翻角和翻边的要求，非立方体的各块也不可能翻，故谈不上乘以3和乘以2了，即连一个24都没有。
异形魔方有个“公开的秘密”：严格说，它不是立方体！形状复原时，上下两个有斜缝的面是正方形，即六面体的长和宽一样，；但 它的高比长（宽）稍大，和上下面中的斜缝等长。斜缝当然比长（宽）长。这么设计应该是（另一种玩法）做种种怪异立体造型的需要，以免出现不协调的接缝。     可谓独具匠心！
顺便报告，异形魔方可能有的形状混乱初态一共只有89对。它们的复原路线，一步一步我都用图画出来了。直观，不必列公式的。（请见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=890&extra=page%3D2）

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:20 编辑 ]

yumin598

“Master”：拜托了！我这就把已改好的一篇“异形魔方复原法”发给您。
啊！玩了多年智力玩具，除了我的一个弟弟外，竟然无人可对话。发现了“魔方吧”，有人可讨教，有地方“说话”了！廿几年前沪上刚出现魔方时，卖魔方店门口人头攒动。东一堆，西一堆，当街交流起来。难怪，时过境迁么！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:24 编辑 ]

乌木

在四轴魔方中，半个魔方A相对于另半个a的旋转，也就是a相对于A的旋转，所以你说“用4个旋转面旋转就可达到全部状态”就是此意。A＝a，B＝b，C＝c和D＝d，等等。（A表示半魔方A顺转，余类推。）对吧？

有趣的是，2阶立方体魔方也类似。不过2阶立方体魔方是6轴的，只需转3个面即可达到全部状态。操作U=D，R=L，F=B，等等。对吗？

能否说四轴类和六轴立方体类在2阶立方体魔方处有某种交汇？

进一步，是否有多种魔方的“交会点”？要有的话，邱兄的“一式解万方（续）”算不算？

[此贴子已经被作者于2006-11-1 10:55:29编辑过]

乌木

有点小问题：

乌木

“24”尚可理解，“48”怎么来的？是否是您另一处说的加入了魔方状态的对称态所致？如果是的，我想，一个魔方与其镜像一般是无法重合的，即属于两个魔方。两者的什么属性数怎么能加起来呢？如果把两者的什么属性数加起来后，除以24不够了，改除以48,是否多此一举？

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    请您仔细研究：48 同态图解  。   24 态 与 48 态 是两种截然不同的概念，您可能是被 24 态误导了。您如果仔细研究 48 同态图解  中的 48 张图片 自然就会明白了。

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[此贴子已经被ggglgq于2006-11-6 11:48:06编辑过]

乌木

g老师，那“48 同态图解” 里含有许多幅、每幅48个态图案，并且每一幅随点击下面的任一按钮而更新，这样，究竟有多少个态，谁也说不清吧？且慢去查看其中谁谁谁属于同态（人力不可能看清楚的，有点难为人嘛），我先问问这“48 同态图解”中一共有多少个态？是否含有黑王子说的 3674160个态？或者 3674160×48个（同）态？

8个角块是不能与各自的镜像互相重合的，这样，二阶魔方不能和其对称镜像合在一起计算的吧？所以我才怀疑那“48”的。不知我的误区在哪？

我倒觉得最好给出消了同态后的若干个态，限于人力，我只给出了黑王子说的头上（9+54）个态的具体图案（忘了贴在何处，好像是跟帖）。

[此贴子已经被作者于2006-11-6 19:39:27编辑过]

乌木

g老师，您用了“对称”一词，我就想到下面的情况：

乌木

我再看看那“48 同态图解” 里许多“48态”，倒是没有找出对称的图案。那么，g老师说的“对称”该是指对称的操作，即U～U'，F～F'，D～D'，B～B'，R～L'和R'～L，而不是我误解的“图案的镜像”，对吗？

 

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    乌木 先生，这几天比较忙，没顾上浏览论坛，攒了不少问题没有处理，请 乌木 先生
能体谅、理解。

    您这几次的问题，可以概括为您最后这一次的问题。最后这一次的问题 是 大多数的
魔友能够体会到的问题，正如您所回答的“‘对称’含有对称的操作，如 对于 0 号位置
的‘对称操作’为 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R'” 等等。

    但“对称”也包含“对称的图案”，如 对于 0 号位置 的 “图案的镜像”分别为：
    蓝、绿、红、橙 自对应，黄 ～ 白 、白 ～ 黄 。

   

其他位置的“对称”或“镜像”均含有“对称操作”及“对称图案”（或“图案镜像”），
您可以通过仔细研究 48 态，进一步地理解 48 态 其他位置的这种“对称”或“镜像”。

                           
                                                                      ggglgq 回复

[此贴子已经被ggglgq于2006-11-13 10:53:17编辑过]